某校同学设计一个如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”，其中AC、BD是过抛物线Γ焦点F的两条弦，且其焦

发布网友发布时间：2022-12-24 23:14

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热心网友时间：2023-10-10 14:23

（1）设抛物线Γ的方程为x²=2py（P＞0），
∵抛物线Γ焦点为F（0，1），∴

=1，解得p=2，
因此，抛物线Γ的方程为x²=4y；
（2）过点A作AK⊥y轴于点K，设|AF|=m，
则Rt△AFK中，∠KFA=α，可得sinα=

|AK|

|AF|

，cosα=

|FK|

|AF|

，
可得|AK|=|AF|sinα=msinα，|FK|=|AF|cosα=mcosα，
由此可得点A的坐标为（-msinα，1+mcosα）
∵点A为抛物线x²=4y上的点，∴（-msinα）²=4（1+mcosα），
整理得m²sin²α-4mcosα-4=0．将其看作是关于m的一元二次方程，
解得m=

4cosα±

16cos2α +16sin2α

2sin2α

4cosα±4

2sin2α

2cosα±2

sin2α

．
∵α为锐角，可得cosα＜1，且m＞0．
∴m=

2cosα?2

sin2α

＜0不符合题意，得m=

2cosα+2

sin2α

2(cosα+1)

sin2α

即：|AF|=

2(cosα+1)

sin2α

成立．