压缩映射不动点定理

发布网友发布时间：2022-12-24 18:23

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热心网友时间：2023-10-31 20:03

压缩映射不动点定理：

定理（压缩映射原理）设是一个完备的度量空间，是一个压缩映射，则有一个唯一的不动点。进一步地，从任意一点出发，序列收敛于。证明首先证明最多只有一个不动点。然后说明序列收敛于一点。最后证明这个是不动点。

唯一性，首先证明，如果一个点是的不动点，则它是的唯一的不动点。假设且。由于为压缩映射，因此一定存在一个，使得。容易看出，只有当，即时，前面的不等式才能成立。

极限点，设，定义。则由前面的引理可知，序列是一个柯西序列。由于是完备的，因此一定存在一个使得收敛于。

不动点，设。由于为柯西序列，且收敛于，因此一定存在一个正整数，使得对于任意的，均有，且，设，由三角不等式可知。

巴拿赫不动点定理，又称为压缩映射定理或压缩映射原理，是度量空间理论的一个重要工具;它保证了度量空间的一定自映射的不动点的存在性和唯一性，并提供了求出这些不动点的构造性方法。

注意到不等号右边中间的一项又等于，从而由前面的推理可知不等号右边前两项均小于。现在主要考虑第三项。注意到。从而有。由于的选取是任意的，因此必有，即。