【平面几何】圆幂与等幂(7)
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发布时间：2022-12-20 08:03
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时间：2023-09-26 07:39
题1过定点 的直线 与圆 相交于两点 （相切则重合），根据割线定理、相交弦定理与切割线定理， 的乘积是定值，称这个定值为点 对圆 的幂。
请用解析法证明圆幂定理：
定理1.1任意一点 引直线 与圆 相交于两点 （相切则重合），那么 是定值，且
(1.1)
其中 为圆的半径， 为 到圆心的距离。
证明如图1-1：
不失一般性，设圆 的圆心在平面直角坐标系的原点，半径为 ，其方程为：
(1.2)
又设点 的坐标为 ，那么 的方程为：
(1.3)
或
(1.4)
(式(1.3)表示直线 ，式(1.4)表示直线 )
设直线与圆的交点坐标为：
以下分两种情况：
情况1： 联立(1.2),(1.3)消去 ，并标准化二次方程得：
(1.5)
为方程(1.5)的两根，根据韦达定理有：
根据两点间的距离公式及 的关系，有：
(为定值)。
情况2：联立(1.2),(1.4)，得A.B的坐标为：
同样可以计算 (为定值)
综上所述： (为定值)，其中
评注如图1-2，若 在圆外，那么， 对于圆的幂等于 与圆切线段的平方。这是切割线定理的结论，即：
(1.5)
如图1-3，若 在圆内，那么， 对于圆的幂等于过 且垂直 的弦的一半的平方。这是交弦定理的结论，即：
(1.6)
题2(等幂线)有圆 ，若点 对 的幂相等，称点 为两圆 的等幂点。两圆的所有等幂点构成的集合，可能是直线、也可能是圆、也可能是空集，请分情况讨论之。
解称两圆的等幂点集合为两圆的等幂集或等幂线，关于等幂集，给出如下5个命题：
命题2.1两圆半径、圆心距分别为为 ，且 ,那么它的等幂集是一条直线。
证明不失一般性，设圆 的圆心分别为 ，半径分别为 ，点 的坐标为 。因为命题条件。如图2.1：
根据圆幂的定义，有：
对圆 的幂：
对圆 的幂：
两幂相等，故：
去绝对值有两种结果：
或
展开整理：
(2.1)
或
(2.2)
因为 ，所以：
方程(2.2)产生 的矛盾，舍去方程(2.2)。
经验证，方程(2.1)是两圆的等幂线方程，它是一条直线。
命题2.2两圆半径、圆心距分别为为 ，且 ，那么它的等幂集是一条直线和一个圆，且这个圆的圆心在连心线的中点。
证明因为 ，所以方程(2.2)有解，且解为的圆。经验证，方程(2.1)(2.2)所表示的直线与圆包含在等幂集里。
根据方程(2.2)，圆心坐标为 ，恰是两圆心 的中点。
评注特别指出，当 时，方程(2.2)所表示的圆退化成一个点，且这个点在连心线的中点。
命题2.3两个半径不同的圆同心，则其等幂集是一个圆。
证明因为 ，所以方程(2.1)无解。但经验证，(2.2)所表示圆包含在等幂集里。
评注方程(2.1)所表示的直线，称为根轴或等幂轴。方程(2.2)所表示的圆，称为等幂圆。
命题2.4两圆的根轴与两圆的连心线垂直。
证明方程(2.1)所表示的直线与 垂直，所以它垂直连心线。
命题2.5两圆相交（或相切），根轴过两个交点(或切点)。
证明如图2-2，设圆 的方程分别为：
(2.3)
(2.4)
其中，令 ，根据相交或相切条件，有：
(2.5)
(2.4)-(2.3)得：
得 (2.6)
把上式代入(2.3),(2.4)验证，得 有实根，故 为两交点 的横坐标（相切时A,B重合）。比较式(2.1)可见，根轴通过点 ，命题得证。
评注不等式(2.5)的几何意义为：
左边等号成立，表示两圆内切；
有边等号成立，表示两圆外切；
其余表示两圆相交。
题3（等差幂线定理）图3-1，平面上有四个点 ，那么 的充要条件为 (3.1)
证明如图3-2，分别以 为圆心， 为半径作圆，使之对A而言等幂。这样可知：
(3.2)
若 ，因 为两圆的等幂点，所以直线 为两圆之根轴，所以 为两圆的等幂点。所以：
(3.3)
联立(3.2)(3.2)，消去 得(3.1)，这就证明了必要性。
若(3.1)成立，则联立(3.1)、(3.2)可得(3.3)，所以 为两圆的等幂点，于是 ，充分性成立。
评注本题的结论称为"等差幂线定理"。在证明过程中，(3.2)、(3.3)两边无绝对值是没问题的。这是因为：根轴上的每一点，要么都在两圆之外，要么都在两圆之内，要么在两圆的交点上，不管什么情况，圆幂公式去绝对值时，就是(3.2)、(3.3)的形式。也就是说，两圆根轴上的任意一点 等幂方程可以写成：
认真体会命题2.1的证明，也能注意到这点。
推论3.1到已知两点的距离平方差为常数的点的轨迹，是垂直于这两点的直线。
题4如图4-1,三圆 圆心不共线。 为圆 的两条公切线， 为圆 的两条公切线， 为圆 的两条公切线。其中， 分别是它们的中点。求证：
三条直线相交于一点。
证明由条件知：
直线 是圆 的根轴，
直线 是圆 的根轴，
直线 是圆 的根轴。
设 与 相交于 ，那么 为三圆 的等幂点，这说明 在圆 的根轴 上，所以三线共点。
评注本题公切线可以是外公切也可以是内公切。同时，切线的条件*了三圆不能互相包含，只能相离或相交（包含相切）。实际上，以下命题更本质地说明三圆根轴的位置关系：
命题4.1三圆不同心，圆心不共线，两两根轴相交于一点；三圆不同心，圆心共线，两两根轴平行。
推论不同心不共线的三圆，有且只有一个等幂点，该点称为三圆的根心。
题5如图5-1 为圆 的切线，切点为 ，过点 作直线交圆 于 ，交弦 于点 ，求证： (5.1)
证明如图5-2，连接 。
根据圆幂定理：
(5.2)
(5.3)
因为 切圆 于 ，所以 ，根据等差幂线定理有：
结合(5.2),(5.3)得：
评注本题结论与 【平面几何】圆幂定理(2)
中的题4等价，推导如下：
题6如图6-1，圆 与 的外接圆相切于点 ，与边 相交于点 ，且和边 相交。过点 作 的切线，切点为 ，连接 ，交 于 。求证： 等于过点 作圆 的切线长。
证明如图6-2，设 过点A作两圆的切线 ，连接 。
由弦切角定理知：
所以：
所以： 共圆。
所以：
又由弦切角定理：
所以：
等角之补角相等，所以：
这样有：
所以
为 对圆 的幂，所以 等于过点 作圆 的切线长。
评注6.1注意图6-3与图6-4，两圆 相切于点 ，过点 作直线线分别交圆 于 ，再作直线分别交圆 于 ，那么 。
以上结论对于内切与外切的结论是一样的，请分别证明之。
题6中，连接 ，则可以证明 ，这是解决题6的另一途径。（请试试）
评注6.2如图6-4，与图6-1有所不同，切线 与圆 相切于不同于 的另外一点L'，连接 并延长，与 的延长线交于 ，这时结论还成立吗？也就是说， 是否等于 到圆 的切线长？
答案是肯定的，请证明之。
题7（2016年全国高中数*赛）图7-1所示， 中， 分别位于 的延长线上， 。设 的外心分别为 ，直线 分别交 于 。证明： 是等腰三角形。
证明如图7-2，设圆 相交于点 ，连接 交 于 。
直线 为圆 的根轴，所以点E到圆 与圆 的幂相等。
所以：
(7.1)
又
(7.2)
所以 平分
同时由根轴性质知
由此可以判定
所以 是等腰三角形。
评注本题利用三角形内角平分线的性质，该性质可以描述为：
命题7.1中， 在线段 上，那么 平分 当且仅当
证明如图7-2，用 表示面积，根据面积公式：
上面两式相除得
(7.3)
因
