第一型曲面积分:

发布网友发布时间：2022-12-21 07:49

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热心网友时间：2023-10-08 22:16

这个题真麻烦，不管算对没有，你都要采纳啊，算得太烦烦躁了。

四个平面一个一个计算：
z=0：dS=√(1+(∂z/∂x)²+(∂z/∂y)²)dxdy=dxdy
∫∫ 1/(1+x+y)² dxdy
=∫[0--->1]dx∫[0--->1-x] 1/(1+x+y)² dy
=∫[0--->1] -1/(1+x+y) |[0--->1-x] dx
=∫[0--->1] [1/(1+x)-1/2] dx
=ln(1+x)-(1/2)x |[0--->1]
=ln2-1/2

x=0：dS=√(1+(∂x/∂y)²+(∂x/∂z)²)dxdy=dydz
∫∫ 1/(1+y)² dydz
=∫[0--->1]dy∫[0--->1-y] 1/(1+y)² dz
=∫[0--->1] z/(1+y)² |[0--->1-y] dy
=∫[0--->1] (1-y)/(1+y)² dy
=∫[0--->1] (2-y-1)/(1+y)² dy
=2∫[0--->1] 1/(1+y)² dy-∫[0--->1] 1/(1+y) dy
=-2/(1+y)-ln(1+y) |[0--->1]
=2-1-ln2
=1-ln2

y=0结果与x=0一样。

x+y+z=1：dS=√(1+(∂z/∂x)²+(∂z/∂y)²)dxdy=√3dxdy
∫∫ 1/(1+x+y)² dS
=√3∫∫ 1/(1+x+y)² dxdy
=√3(ln2-1/2)

因此最终结果：(ln2-1/2)+2(1-ln2)+√3(ln2-1/2)=(√3-1)ln2+(3-√3)/2