A,B均为n阶矩阵,且AB=BA,求证:r(A+B)<=r(A)+r(B)-r(AB)
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发布时间：2022-12-16 17:59
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时间：2023-08-29 09:55
要借助线性空间的维数定理, 你琢磨吧
证明: 记 w1,w2,w3,w4 分别为 A,B,A+B,AB 的行向量组生成的向量空间
易知 w3 包含在 w1+w2 中.
由维数定理 dimw3 <= dim(w1+w2) = dimw1+dimw2-dim(w1∩w2)
即有 r(A+B)<=r(A)+r(B)-dim(w1∩w2).
因为 AB 的行向量可由B的行向量组线性表示
AB=BA 的行向量可由A的行向量组线性表示
所以 w4 包含于 w1∩w2
所以 r(AB)=dim(w4)<=dim(w1∩w2)
所以有 r(A+B)+r(AB) <= r(A+B)+dim(w1∩w2) <= r(A)+r(B)来自：求助得到的回答
