怎样根据曲线的多个点求出曲线方程(并不知道是什么方程).
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发布时间：2022-12-19 22:22
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时间：2023-09-22 15:08
《解析几何》的两大基本问题：一是根据已知条件求平面曲线的方程；二是通过方程研究平面曲线的性质.在圆锥曲线的教学中,始终贯穿整一章的教学.求曲线的方程,课本讲得比较多的是：直接法（轨迹法）、公式法,虽然在习题中出现其它的一些方法的运用,但学生对求轨迹方程的方法未能形成较完整的知识系统,有必要利用三到四节课的学习,引导学生对所学知识进行有系统、有目的的归纳小结,补充一些常用的方法.如定义法、相关点法、参数法等.
二、教学目标
知识目标 通过本课的学习,增强运用圆锥曲线的定*决问题的意识,综合运用平面几何的知识,进行几何等量关系的转换,理解“定义法”求轨迹方程的意义及解决问题的基本思路.
能力目标 用运动的观点理解曲线.培养学生观察、类比、推理的分析能力和抽象、概括的思维能力；培养学生数学的转化思想、数形结合思想,使学生养成仔细审视、全方位考虑问题的良好习惯.掌握从特殊一般特殊的认知规律.
情感目标 创设问题情景,激发学生观察、分析、探求的学习热情,强化学生的参与意识.
三、教学重点、难点
重点：“定义法”求曲线轨迹方程.灵活运用题设条件,确定动点所满足的等量关系,结合圆锥曲线的定义确定曲线的类型.
难点：理解轨迹的完备性与纯粹性,并能准确地运用.（完备性是指符合条件的点都要在轨迹上,不能遗漏；纯粹性是指轨迹上的所有点都符合条件,没有“假冒”.）
四、教学过程与教学设计
教学过 程
教学活动
学生
活动
多媒体辅助
设计
意图
课前练习与提问
问题：
1、请你分别说出四种圆锥曲线的定义
圆的定义
椭圆的第一定义
双曲线的第一定义
圆锥曲线的统一定义
学生思考并回答问题
演示内容,热键点击答案.
通过复习,使学生对圆锥曲线的定义有更深刻的印象.
2、思考并回答：
（1）已知且,则点P的轨迹是 圆
（2）已知ABC的一边BC的长为6,周长为16,则顶点A的轨迹是什么?（椭圆,除去与BC边共线的两个顶点.）
（3）若
则点M的轨迹是 双曲线右支
（4）过点（2,3）且与y轴相切的圆的圆心的轨迹是什么?（抛物线）
小结引出课题：灵活、准确地运用定义,为解决圆锥曲线的一些问题带来很大的方便.本课,我们重点讨论利用定义法求曲线的轨迹方程的问题.
定义法求轨迹方程的含义：先由题设条件,根据圆锥曲线的定义能确定曲线的形状后,直接写出曲线的方程.
学生思考,并回答.
热键,先呈现图形后呈现答案
1、通过练习焕起学生运用定*决问题的意识.
2、注意养成仔细审视、全方位考虑问题的良好习惯.
举例说明方法的运用
例1：已知圆C：及圆内一点P（3,0）,求过点P且与已知圆内切的圆的圆心M的轨迹方程.
1、分析：（1）圆C的半径与圆心坐标可定.
（2）两圆内切可得：外圆半径＝内圆半径＋连心距.
（3）动点M满足的等量关系：| MC | + | MP | = 10＞| PC |
（4）由定义可确定动点M的轨迹为以P、C为焦点的椭圆.
2、演示动画,使抽象问题具体化.
3、学生口述解题过程.
4、板演解题过程.
师生共同分析,找出问题解决的关键.
1、演示动画,使抽象问题具体化.让学生看清楚动圆圆心的运动规律与我们分析的结果一致.
2、板演解题过程.
1、通过师生共同分析,使学生明确解决问题的关键是找出动点满足的等量关系.
2、通过图形、电脑动画辅助分析及检验所得的结论.
例2：已知动圆与圆
和圆C2：
都外切,求动圆圆心P的轨迹方程.
1、分析：（1）从已知条件可以确定圆C1、C2的圆心与半径.
（2）两圆外切可得：两圆半径和＝圆心距
（3）动圆半径r,依题意有
r1 + r = | P C1 | ,
r2 + r = | P C2 |
两式相减得：| PC1 | -- | PC2 | = r1 – r2
< | C1 C2|
（4）由双曲线定义得：点P的轨迹是C1 、C2以为焦点的双曲线的右支.
（5）再根据题设条件求出参数a、b即可.
2、动画验证,并观察动点的运动.
3、学生完成解题过程的书写表达.并巡视,纠正.
4、板演规范的书写表达.
引伸：1、若动圆P与圆C2内切,与圆C1外切,则动圆圆心P的轨迹是什么?（双曲线右支）
2、若动圆P与圆C1内切,与圆C2外切,则动圆圆心P的轨迹是什么?（双曲线左支）
3、若把圆C1的半径改为1,那么动圆P的轨迹又是什么?（两定圆连心线的垂直平分线）
4、上述的结论是否具有一般性?也就是：与两个外离的定圆都外切或与其中一个内切,另一个外切的圆的圆心的轨迹都是双曲线的一支?（当两个定圆不相等时,结论是肯定的,当两定圆相等时,轨迹为两定圆连心线的中垂线.）
让学生先思考、讨论,后由学生提出解题方案,师生共同完善解题过程.
问题4留作课外思考.
1、显示题目.
2、动画演示动点的运动过程.
1、有了前面的引导,放手让学生尝试解决,培养学生的独立性.
2、通过改变题设的条件,一题多变,培养学生类比、推理的能力.
小结
利用“定义法”求轨迹方程的关键：找出动点满足的等量关系.
步骤：（1）依条件列出等量关系式；（2）由等式的几何意义,结合圆锥曲线的定义确定轨迹的形状；（3）写出方程.
学生结合上面两例题进行归纳小结.
板演小结内容.
培养学生归纳、抽象能力.
练习
A组题
1、动点P到直线的距离与它到点（2,1）的距离之比为,则点P的轨迹是什么?（椭圆）
2、若动圆与圆相外切,且与直线相切,则动圆圆心轨迹方程是 （ ）
3、ABC中,已知
、|AB|、| BC |成等差数列,求点C的轨迹方程.
学生动脑、动手完成,可以讨论协作完成.
显示题目内容,点击显示答案.
体现对不同层次学生的学习要求.
要求（1）准确理解定义
（2）转化与构造.
B组题
1、请你编写1－2道用“定义法”求轨迹方程问题的题目.
2、ABC中,A为动点,B、C为定点,且满足条件
,求动点A的轨迹方程.
3、动圆与内切,且与圆C2：
外切,求动圆
圆心的轨迹方程.
（ ）
4、一动圆过点F（－3,0）且与已知圆
相切,求动圆圆心P的轨迹方程.
谢谢给个高积分
