求助一道高等数学题

发布网友发布时间：2022-12-17 00:43

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热心网友时间：2023-09-12 12:22

能直接算出来就不建议用几何意义

大题都是严格证明的，详情如图所示

第二个积分用几何意义

最多选择填空用，大题不行

热心网友时间：2023-09-12 12:23

f(x)
=xe^(-x) ; x<0

=√(2x-x^2) ; x≥0
let
u=x-1
=dx
x=-2, u=-3
x=2, u=1
∫(-2->2) f(x-1) dx
=∫(-3->1) f(u)

=∫(-3->0) f(x) dx +∫(0->1) f(x) dx
=∫(-3->0) xe^(-x) dx +∫(0->1) √(2x-x^2) dx
=-2e^3 -1 +π/4
//
∫(-3->0) xe^(-x) dx
=-∫(-3->0) x de^(-x)
=-[xe^(-x)]|(-3->0) +∫(-3->0) e^(-x) dx
=-3e^3 -[e^(-x)]|(-3->0)
=-2e^3 - 1
//
2x-x^2 = 1-(x-1)^2
let
x-1 = sinu
dx= cosu
x=0, u=-π/2
x=1, u=0
∫(0->1) √(2x-x^2) dx
=∫(-π/2->0) (cosu)^2
=(1/2)∫(-π/2->0) (1+cos2u)
=(1/2)[u+(1/2)sin2u]|(-π/2->0)
=π/4

热心网友时间：2023-09-12 12:23

设t=x-1。∴∫(-2,2)f(x-1)dx=∫(-3,1)f(t)dt。∴原式=∫(-3,0)f(x)dx+∫(0,1)f(x)dx。
而，∫(-3,0)f(x)dx=∫(-3,0)xe^(-x)dx=-(x+1)e^(-x)丨(x=-3,0)=-1-2e³。∫(0,1)f(x)dx=∫(0,1)√(2x-x²)dx。令t=1-x，∫(0,1)√(2x-x²)dx=∫(0,1)√(1-t²)dt。按照定积分的几何意义，∫(0,1)√(1-t²)dt=π/4。
∴原式=π/4-1-2e³。
供参考。

热心网友时间：2023-09-12 12:24

解题过程

先进行换元，同时替换积分区间，保证积分字母相同。

然后，将所求分为两个区间，进行分段函数的求积分，因为当t＜0时，t趋近于0时，函数值为0，在0点连续。

所以，如图所示，分为两段求解，在0到1上，利用数形结合，画图，求的是1/4半径为1的圆的面积。

在-3到0上，利用分部积分法，原函数为-xe^-x，再减去一部分积分，如上所示，进行求解即可。

具体做法见上图，望采纳。