一个教授逻辑学的教授,有三个学生,而且三个学生均非常聪明!
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发布时间：2022-12-21 05:46
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时间：2023-10-05 11:22
思路如下：
首先说出此数的人应该是二数之和的人，因为另外两个加数的人所获得的信息应该是均等的，在同等条件下，若一个推不出，另一个也应该推不出。（当然，我这里只是说这种可能性比较大，因为毕竟还有个回答的先后次序，在一定程度上存在信息不平衡）
另外，只有在第三个人看到另外两个人的数是一样时，才可以立刻说出自己的数。
以上两点是根据题意可以推出的已知条件。
如果只问了一轮，第三个人就说出144，那么根据推理，可以很容易得出另外两个是48和96，怎样才能让老师问了两轮才得出答案了？这就需要进一步考虑：
A：36（36/152） B：108（108/180） C：144（144/72）
括弧内是该同学看到另外两个数后，猜测自己头上可能出现的数。现推理如下：
A，B先说不知道，理所当然，C在说不知道的情况下，可以假设如果自己是72的话，B在已知36和72条件下，会这样推理──“我的数应该是36或108，但如果是36的话，C应该可以立刻说出自己的数，而C并没说，所以应该是108！”然而，在下一轮，B还是不知道，所以，C可以判断出自己的假设是假，自己的数只能是144！
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给你上课的教授为何说是169？？你要QM吐血啊！！
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在逻辑推理中有一类比较特殊的问题——“思维嵌套”问题，即在C的脑海中要考虑B是如何思考A的想法。这种问题通常非常抽象，考虑情况又十分繁多，思想过程极其复杂，用一般方法分析效果极差。
一、问题原形
一位逻辑学教授有三名善于推理且精于心算的学生A，B和C。有一天教授给他们三人出了一道题：教授在每个人的脑门上贴了一张纸条并告诉他们，每个人的纸条都写了一个大于0的整数，且某两个数的和等于第三个。于是，每个学生都能看见贴在另外两个同学头上的整数，但却看不见自己的数。
教授轮流向A，B和C发问：是否能够猜出自己头上的数。经过若干次的提问之后，当教授再次询问某人时，他突然露出了得意的笑容，把贴在自己头上的那个数准确无误地报了出来。
我们的问题就是：证明是否有人能够猜出自己头上的数，若有人能够猜出，则计算最早在第几次提问时有人先猜出头上的数。
我们先分析一个简单的例子，观察每个人是如何进行推理的。
假设A，B和C三人，头上的数分别是l，2和3。
l. 先问A
这时，A能看见B，C两人头上的数分别是2，3。A会发现自己头上只可能为3+2=5，或者3-2=1。可到底是l还是5，A无法判断，所以只能回答“不能”。
2.再问B
B会发现自己头上只可能为3+1=4，或者3-1=2。可到底是2还是4，B只能从A的回答中入手分析：(以下为B脑中的分析)
如果自己头上是2。则A能看见B，C两人头上的数分别是2，3，A会发现自己头上只可能为3+2=5，或者3- 2=1。到底是l还是5，A无法判断，只能回答“不能”。这与A实际的回答相同，并不矛盾，所以B无法排除这种情况。
如果自己头上是4。则A能看见B，C两人头上的数分别是4，3，A会发现自己头上只可能为4+3=7，或者4-3=１。到底是l还是7，A无法判断，只能回答“不能”。这也与A实际的回答相同，并不矛盾，所以B也无法排除这种情况。
B无法判断，只能回答“不能”。
3．再问C
C会发现自己头上只可能为2+1=3，或者2-1=l。可到底是l还是3．C只能从A或B的回答中入手分析：(以下为C脑中的分析)
如果自己头上是1。
A会发现自己头上只可能为2+l=3，或者2-1=1。可到底是l还是3，是无法判断的，只能回答“不能”。这与A实际的回答相同，并不矛盾。
B会发现自己头上只可能为1+1=2(因为B头上是大于0的整数，所以B头上不能是1-l=0)。B应回答“能”。但这与B实际的回答矛盾。C能以此排除头上是1这种情况。
继续分析C头上是3这种情况，会发现毫无矛盾(与实际情况相符)。
C将准确判断头上的数是3，所以回答“能”。所以在第三次提问时有人猜出头上的数。
我们从每个人的角度出发，分析了头上数是l，2和3的情况。这种方法也是我们解决简单的逻辑推理问题所采用的普遍做法。但如果将问题的规模变大，会发现问题的复杂程度会急剧上升，几乎是多一次推理，问题的复杂度就要变大一倍。
靠如此烦琐的推理是不能很好解决问题的。原因在于有大量的“思维嵌套”。即：在C的脑海中要考虑B是如何思考A的想法。此外，这种方法不能够推导出有普遍意义的结论。让我们换一种思路来解决问题。
下面我们用第一位、第二位、第三位学生分别表示A，B，C三人。
经推论，无论三个数如何变化，无论从谁开始提问，必然是头上数最大的人最先猜出自己头上的数。
由上述结论，对于，(a1,a2,a3,k)可以定义f(a1,a2,a3,k)的递推式：
当k=1时
当a2=a3时，f(a1,a2,a3,1)=1
当a2＞a3时，f(a1,a2,a3,1)=f(a2-a3,a2,a3,2)+2
当a2＜a3时，f(a1,a2,a3,1)=f(a3-a2,a2,a3,3)+1
当k=2时
当a1=a3时，f(a1,a2,a3,2)=2
当a2＞a3时，f(a1,a2,a3,2)=f(a1,a1-a3,a3,1)+1
当a2＜a3时，f(a1,a2,a3,2)=f(a1,a3-a1,a3,3)+2
当k=3时
当a1=a2时，f(a1，a2，a3，3)=3
当a1＞a2时，f(al，a2，a3，3)=f(a1，a2，a1-a2,1)+2
当al＜a2时，f(a1，a2，a3，3)=f(a1，a2，a2-a1,2)+1
由于我们只考虑(a1，a2，a3，k)∈= S3，因此k可由a1,a2,a3三个数直接确定，因此f(a1,a2,a3,k)可以简化为f(a1,a2,a3)。
利用上面的公式，通过计算机编程来辅助解决问题。
由于建立了线性的递推关系，因此避免了问题规模随着提问次数呈指数型增长，有效地解决了问题，其解决方法是建立在对问题的深入分析之上的。现在让我们总结解决问题中思路的主线：
提炼重要的前提条件→考虑何种情形为“终结情形” →对非“终结情形"建立推理的等价关系→考虑何种情形能归结到“终结情形”→分情况讨论并加以证明→得出结论并改写等价关系→得出公式。
整个过程是从分析问题的本质入手，而非一味单纯地从每个人思想出发，并推导出普遍意义的结论。从全局的角度分析问题，避免了最烦琐的“思维嵌套"，并且使得问题规模从指数型转变为线性。
二、第一种推广
一位逻辑学教授有n(n≥3)名非常善于推理且精于心算的学生。有一天，教授给他们出了一道题：教授在每个人脑门上贴了一张纸条并告诉他们，每个人的纸条上都写了一个大于0的整数，且某个数等于其余n-1个数的和。于是，每个学生都能看见贴在另外n-1个同学头上的整数，但却看不见自己的数。
教授轮流向学生发问：是否能够猜出自己头上的数。经过若干次的提问之后，当教授再次询问某人时，此人突然露出了得意的笑容，把贴在自己头上的那个数准确无误地报了出来。
我们的问题就是：证明是否有人能够猜出自己头上的数，若有人能够猜出，则计算最早在第几次提问时有人先猜出头上的数，分析整个推理的过程，并总结出结论。
经推论，无论n个数如何变化，无论从谁开始提问，必然是头上数最大的人最先猜出自己头上的数。
由上述结论，对于(a1,a2…,an,k)，可以定义f((a1,a2…,an,k)的递推式：
当2W-M≤0时，f((a1,a2…,an,k)=k，
当2W-M>O时
设ai’=ai，其中，i≠k，ak’=2W-M
当v＜k时，f(a1,a2…,an,k)=f(a1’,a2’…,an’,v)+k-v
当v＞k时，f(a1,a2…,an,k)=f(a1’,a2’…,an’,v)+n-k+v
由于我们只考虑(a1,a2…,an,k)∈=S3，因此k可由n个数直接确定，因此f(a1,a2…,an,k)可以简化为f(a1,a2…,an)。
利用上面的公式，通过计算机编程来辅助解决问题。
至此，第一种推广情形就解决了。可以发现n=3时情形的证明，对解决一般情形提供了很好的对比，使得我们能够较为轻松地解决问题，这其实也是建立在对n=3时的情形的分析之上的。
三、第二种推广
一位逻辑学教授有n(n≥3)名非常善于推理且精于心算的学生。有一天，教授给他们出了一道题：教授在每个人脑门上贴了一张纸条并告诉他们，每个人的纸条上都写了一个大于0的整数，并将他们分成了两组(一组学生有m人，(m≥n／2)，且学生并不知道如何分组)，且两组学生头上数的和相等。于是，每个学生都能看见贴在另外n一1个同学头上的整数，但却看不见自己的数。
教授轮流向学生发问：是否能够猜出自己头上的数。经过若干次的提问之后，当教授再次询问某人时，此人突然露出了得意的笑容，把贴在自己头上的那个数准确无误地报了出来。
我们的问题就是：证明是否有人能够猜出自己头上的数，若有人能够猜出，则计算最早在第几次提问时有人先猜出头上的数。
由于当n=3时，m只可能为2，即为问题原形，而对于m=n-1，即第一种推广情形。因此只讨论n＞3，m＜n-1时的情形。
对于每个人判断自己头上的数，依据分组情况不同，头上的数就可能不同。
对(A1，A2，…,An，k)，第k位学生可以看见除自己外所有学生头上的数，并假设在某种分组情况下，可以计算出与自己不同组的学生头上数的和，由题目条件“两组学生头上数的和相等”，可以计算出自己头上的数。由于有Cmn种分组情况，因此相对应头上的数有Cmn种(其中可能也包括了一部分重复的数及非正整数)。
经推论，不存在情况使得没有人能够猜出头上的可能，且推理时四个数始终在减小，因此经过有限次推理之后，必然达到“终结情形”。
而对于第一种推广情形，即n=4，m=3，必然有人能猜出自己头上的数。因此n=4时的一切情况，必然有人能猜出自己头上的数。
由于现在的推理在加强判定的情况下，依然可能出现多种考虑情况。所以推理已不是线性的推理，整个推理过程将成为树状结构。
由于分组情况繁多，而且判定方式也比较复杂，因此这时计算f(A1，A2，…，An，k)的值已经非人力能够解决，但是可以利用上述证明的结论，依靠计算机强大的计算功能辅助解决问题。
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时间：2023-10-05 11:23
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时间：2023-10-05 11:23
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时间：2023-10-05 11:24
