观测数据加权

发布网友发布时间：2022-12-23 10:10

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热心网友时间：2024-12-14 00:34

在反演中我们用来拟合的观测数据的精度以及分辨率是不一样的。因此有一些数据在反演中重要一些，有一些数据重要程度差一些，它们的拟合好坏对模型的构建影响不同，因此可以在反演时给它们设置权值。通常采用数据的均方差的倒数来给观测数据加权，目标函数如下:

ψ=(d-Gm)^TW_d(d-Gm) (3.47)

其中:W_d为数据的拟方差矩阵，它是一个M×M的对角阵:

地球物理反演教程

其中:σ是数据的均方差;M为观测数据的个数。一般来说，均方差越大，说明数据精度差，因此可以给它在反演中设置较小的权值。

对式(3.47)极小化:

ψ=(d-Gm)_TW_d(d-Gm)=(d^T-m^TG^T)W_d(d-Gm)=d^TW_dd-d^TW_dGm-m^TG^TW_dd+m^TG^TW_dGm(3.49)

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整理得线性方程组:

G^TW_dGm=G^TW_dd (3.51)

所以得模型的解为

m=(G^TW_dG)^-1G^TW_dd (3.52)

注意:应用这个公式时，把观测数据d用

代替，线性算子G用偏导数矩阵J代替。这仍然是一个迭代公式，不断计算出新模型，直到拟合精度达到要求为止。

作业:有如下目标函数:

ψ=(d-d^*)^TW_d(d-d^*) (3.53)

利用d^*≈d₀+J·Δm对上式线性化，写出反演解Δm的计算公式。