如果解不无穷光滑,还可以用谱方法吗?

发布网友发布时间：2022-12-23 07:12

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热心网友时间：2023-07-04 16:15

可以。谱方法越来越广泛的应用于许多领域，如流体力学、海洋工程、量子力学、大气科学、电磁技术、水利水电等科学和工程。经过几十年的发展，谱方法不仅在理论分析上日渐完善，在数值模拟上也取得了一些重要成果。谱方法之所以在近几年来发展迅速，最吸引人的地方是它的“谱精度”，它的收敛性只与所*近问题的光滑性质有关，只要所求问题的解越光滑，收敛率就越高，如果所求问题的解是无穷光滑的，那么它的收敛率则是指数阶的，另外，很多研究中也提出将有限元法和谱方法相结合，以减弱谱方法对区域的*。所以，使用谱方法针对具体问题建立谱格式后，对格式的误差分析就显的尤为重要，特别是对非线性的问题，好的结果并不多。本文致力于讨论三种非线性方程的谱格式及其收敛性和稳定性。首先，本文讨论了数值求解具有Dirichlet边界条件的分数阶BBM-Burgers方程。BBM-Burgers方程是1972年T.B.Benjamin，J.LBona和J.J.Mahony在研究非线性色散长波传播的情况时提出的，而分数阶的BBM-Burgers方程更适合刻画非线性色散长波的传播，分数阶微分方程描述更为清晰和准确，本文在Caputo导数的定义下，使用谱方法进行数值计算，先建立该分数阶方程的Legendre-Chebyshev谱方法,即数值格式在整体上采取Legendre-Galerkin形式,对非线性项采用配点法，证明其半离散问题解的存在性、稳定性及收敛性，给出近似解在H1意义下的误差估计.从理论结果和数值实验上说明了谱方法的优越性。其次在本文第四章中讨论了零边界条件的广义正则化长波方程，该方程描写了弱非线性作用下空间变换的等离子声波的传播数值，采用同上一章相同的数值方法，建立该方程的Legendre-Galerkin半离散格式，推导格式的稳定性和收敛性，得到最优收敛解估计，同时对时间层也进行离散，构造该方程的全离散格式，选取适当的基函数以化简运算，然后证明了其稳定性、收敛性，最后对此方程进行数值模拟，得到的结果与实际情况相吻合。最后，在本文第五章中讨论了使用谱方法解决非零边界的RLW问题，首先选取一个变换，将非零的边界条件转换为零边界条件，通过变换原方程转化为变系数的微分方程，建立此变系数微分方程的Legendre-Galerkin方法，对时间层使用Laplace修正，得到向后Euler和C-N两种格式，对非线性项采用在Chebyshev-Gauss-Lobatto点上插值，选取Legendre多项式作为基函数，使离散方程组的系数矩阵分解为两个三对角阵的子系统，最后给出近似解在H1意义下的收敛速率。在误差分析上本文使用的方法是传统的能量估计法，而文中使用的稳定性则是由郭本瑜提出的广义稳定性。