格林函数的在生物医学光子学中的应用

发布网友发布时间：2022-12-23 07:12

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热心网友时间：2023-06-27 03:22

在时域测量中，由于无限短的脉冲激励源可视为组织体边界下自由传输深度ls处的弥向的无限短脉冲点源（光子在t=0时刻同时入射），该冲击响应也因此被称为格林函数。格林函数对于解线性系统在实际光源激励下的响应问题具有很重要的意义。如果实际的光源为具有一定强度空间分布、时间分布、角度分布的光源，则此光源下的系统响应可表示为格林函数与光源分布函数的乘积在全空间、角度和时间域的积分。
例如，假设投射到组织体表面的光源的光子密度分布为q(r,s’,t)，系统的格林函数为G(r,s’,t)，则q(r,s’,t)下系统的响应为
为区别起见在后续将格林函数统一用G(r,t)表示，由于关于的格林函数表示为，于是时变扩散方程
有 (3.56)
对于均匀媒质，上述方程的频域形式可表示为 (3.57)
在式(3.56)中令或在式(3.57)中令，即得稳态（或直流）扩散方程。对于均匀媒质，稳态（或直流）扩散方程表示为。作为其余各解析求解的基础，下面将首先建立无限媒质中的光学响应。为此，对式（3.57）两边取三维空间傅立叶变换 (3.58)
式中，s为频域空间矢量。对式(3.58)求空间的傅里叶逆变换，得
(3.59)
根据，并令r的方向与s之方向一致，有
(3.60)
式中，，，。
考虑到，所以。进一步得
(3.61)
式中被积函数为偶函数，且在复平面有两个一阶极点：，分别位于上下半平面，其中第一项时趋于零，因此围道积分应在下半平面进行；反之式(3.61)第二项围道积分应在上半平面进行，于是根据留数定理 (3.62)
对上式求傅里叶反变换，得时域无限均匀媒质下的格林函数
(3.63)
于是由式(3.63)和式(3.54)可得
(3.64)
式中，为r方向单位矢量。当连续以一定的速率注入光子，即稳态时，无线均匀媒质下的格林函数为
(3.65)
式中称为有效衰减系数。称为穿透深度。对于如图3.8所示的半无限空间，格林函数可利用上述全空间解和镜像原理求得。我们仍然假定各向同性点光源位于组织体表面下处。下面介绍镜像源的添加原理。
（1）零边界条件情况下
如图3.8(a)，在物理边界上采用Dirichlet边界条件，可在z<0半空间填充媒质并在处加入负镜像点源。则根据唯一性原理，此时z=0区域的解与原问题解相同，则可实现半无穷空间的零边界条件，这样实际的物理边界就可以移去，从而可根据全空间的解式(3.63)可得半无穷空间任意一点A处(r=(x,y,z))的解
(3.66)
式中，。和为和向的单位矢量，根据Fick原理，在边界上(z=0)距源的距离为的点测得到的漫反射光流量为
(3.67)
当时，从式(3.67)可以得到
(3.68) (3.69)
式(3.69)说明，吸收系数可以通过对对t的曲线在t为无穷大时的斜率得到。另外扩散系数也可以通过的最大点计算得到。由于在与t的关系曲线上，顶点处斜率为零，如果设此时对应的时间为并考虑到，则根据式(3.68)可得 (3.70)

由上面的几个公式可以看出，媒质的光学参数可以通过测量一定距离下扩散光随时间的变化曲线得到，这也是漫射光谱技术用于测量光学参数的理论基础。
（2）外推边界情况下
在外推边界条件下，物理边界可以通过在外推边界上部的处放置镜像源而移去，见图3.8(b)。参考零边界条件的推导结果，相应地，对于外推边界条件 (3.71)
根据Fick定律，组织体表面的检测光流量为
(3.72)
式中，，。
对于稳态输入情形，在表面上(z=0)距离源为的点测得的反射光强为

(3.73) 厚度为d的无限组织层格林函数同样可利用全空间解和镜像原理求得。设激励点光源位于组织体表面下处，为了使光子密度在z=0处满足Dirichlet边界条件（不考虑外延边界）应在1'处加镜像元。为了在z=d处满足Dirichlet边界条件，应在2和2'处加镜像源用来分别抵消1和1'在z=d处的影响。而应在2和2'处加镜像源后又会造成z=0边界不满足边界条件，所以应在放置无穷个镜像点源偶极子，如图3.9所示。于是很容易写出：
①z=0处的反射通量密度
(3.74)
式中，。
②z=d处的反射通量密度
(3.75)
式中，。