正100边形A1A2A3…A100的每个顶点染红黄蓝三色之一。证明必存在四个同色点，恰为某等腰梯形的
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发布时间：2022-04-23 11:22
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时间：2023-10-12 06:15
2、比如说四边形ABCD，AB=CD。那么就会有A与B中间隔的（正100边形的）顶点数和C与D中间隔的定点数一样，也就是说如果A、B、C、D分别是ai、aj、ak、al（←这个是L的小写）的话，就会有|i-j|=|k-l|。我们把四边形下标最小的那个记为E，第二小的记为F，第二大的记为G，最大的记为H，那么EFGH是一个四边形（这句话的意思是EF是边不是对角线，比如EGFH就不是一个四边形）
这时把下标记为ae、af、ag、ah的话，由EFGH是等腰四边形有EF=GH或FG=EH，即h-g=f-e(等价于f+g=e+h）或g-f=e-h+100(等价于g+h=e+f+100)
另一方面，如果存在四个1~100的不同整数a,b,c,d使得(a+b)(mod 100)=(c+d)(mod 100)，注意到a+b<200，c+d<200，那么有a+b=c+d或a+b+100=c+d或a+b=c+d+100，无论哪种，由上一段的论述知道aa、ab、ac、ad四点能形成等腰梯形
3、100个点染三种颜色，由抽屉原理知道，至少有一个颜色染了至少34次，于是这个某色任取不同两点将下标求和有33*34/2=561种可能，再有抽屉原理知道至少有一个k使得有6组点(i，j)满足i+j=k(mod 100)
任取这样不同的两组，(a,b)、(c,d)，显然要满足(a+b)(mod 100)=(c+d)(mod 100)若a=c，代回去有b=d(与不同的两组矛盾)或b=d±100（超出1~100），所以a≠c，同理b≠c，a≠d，b≠d，由这样的组的构造方式知a≠b，c≠d，所以这是互不相同的四个点，是某等腰梯形的顶点。
话说这是作业吗。。怎么一天之内见到两个人问了。。
