怎么求间断点,麻烦详细点。
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发布时间：2022-12-29 16:48
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时间：2023-10-27 03:39
分母为0的“有限点”（不算x→∞）都有可能是可去间断点，所以拿出来依次讨论。x=0、x=-1和x=1
(1)当x→0时，因为涉及到|x|，所以有必要分两边进行讨论
当x→0+时，limf(x)=lim(x^x-1)/[x(x+1)lnx]=lim(x^x-1)/(xlnx)
因为0^0=1，所以分子在x→0+时是趋近于0的；对于分母，xlnx=lnx/(1/x)，应用L'Hospital法则便知在x→0+时也是趋近于0的。
故，分子分母满足0/0型的L'hospital法则，lim(x^x-1)/(xlnx)=lim(x^x)(lnx+1)/(lnx+1)=lim(x^x)=1
当x→0-时，limf(x)=lim[(-x)^x-1]/[x(x+1)ln(-x)]=lim[(-x)^x-1]/[xln(-x)]
同理，分子分母满足0/0型的L'hospital法则，lim[(-x)^x-1]/[xln(-x)]=lim[(-x)^x][ln(-x)+1]/[ln(-x)+1]=lim[(-x)^x]=1
综上，当x→0时，左极限=右极限=1，故，x=0是可去间断点。
(2)当x→-1时，limf(x)=lim[(-x)^x-1]/[x(x+1)ln(-x)]=lim[1-(-x)^x]/[(x+1)ln(-x)]
情况类似于x→0，分子1-(-x)^x→0；分母(x+1)ln(-x)满足∞/∞的L'Hospital法则，其极限为0。
所以，总体上满足0/0型的L'Hospital法则，
limf(x)=lim[1-(-x)^x]/[(x+1)ln(-x)]=lim[-(-x)^x][ln(-x)+1]/[ln(-x)+(x+1)/x]→∞
其中，x→-1+时为+∞，x→-1-时为-∞，这是无穷间断点，不满足要求。舍去。
(3)当x→1时，limf(x)=lim(x^x-1)/[x(x+1)lnx]=lim(x^x-1)/(2lnx)
分子分母满足0/0型的L'Hospital法则，有
lim(x^x-1)/(2lnx)=lim(x^x)(lnx+1)/(2/x)=1/2，故x=1也是可去间断点。
综合上述，x=0和x=1是可去间断点。选C
