已知函数，f(x)＝｜x-a｜ (a＞0) (1)求证f(m)＋f(n)≥｜m-n｜ (2)解不等式

发布网友发布时间：2022-12-28 00:55

共4个回答

热心网友时间：2023-10-21 18:37

f(x)＝｜x-a｜ (a＞0)
(1)
f(m)+f(n)=|m-a|+|n-a|=|m-a|+|a-n|
根据|a+b|≤|a|+|b|
∴|m-a|+|a-n|≥|m-a+a-n|=|m-n|
即f(m)＋f(n)≥｜m-n｜

(2)
f(x)+f(-x)>2
即|x-a|+|x+a|≥2

若0<a≤1时，
当-a≤x≤a时，不等式即
a-x+x+a>2
即a>1,原不等式不成立

当x>a时，原不等式即
x-a+x+a>2
x>1

当x<-a时，原不等式即
a-x-x-a>2解得x<-1
∴0<a≤1时,原不等式解集为
(-∞,-1)U(1,+∞)

若a>1

当-a≤x≤a时，不等式即
a-x+x+a>2,2a>2恒成立
原不等式，解得-a≤x≤a

当x>a时，原不等式即
x-a+x+a>2
x>1与x>a取交集得x>a

当x<-a时，原不等式即
a-x-x-a>2
解得x<-1与x<-a取交集得x<-a

∴a>1时,原不等式解集 (-∞,+∞)

热心网友时间：2023-10-21 18:38

（1）f(m)＋f(n)=｜m-a｜+｜n-a｜≥｜(m-a)-(n-a）｜=｜m-n｜
(2)f(x)+f(-x)>2
即｜x-a｜+｜-x-a｜>2
=>｜x-a｜+｜x+a｜>2成立。则
只须｜x-a｜+｜x+a｜的最小值大于2即可。
而｜x-a｜+｜x+a｜≥｜x-(-x）｜=2lxl
=>lxl>1
=>-1<x<-1

热心网友时间：2023-10-21 18:38

证明

f(m)＋f(n）=|m-a|+|a-n|≧|m-a+a-n|=|m-n|

得证

f(x)+f(-x)=|x-a|+|x+a|＞2

因为a＞0

所以当x＜-a时，即为a-x-x-a＜2得x＞-1

若a＞1，此时不等式无解；若0＜a＜1，解集为{x|-1＜x＜-a}

当-a＜x＜a时，即为a-x+x+a＞2,得a＞1

若a＞1，此时不等式解集为{x|-a＜x＜a}|；若0＜a＜1，不等式无解

当x＞a时，即为x-a+x+a>2,得x>1

若a＞1，此时不等式解集为{x|x＞a}；若0＜a＜1，不等式无解

热心网友时间：2023-10-21 18:39

f(m)＝｜m-a｜,f(n)＝｜n-a｜
f(m)＋f(n)=|m-a|+|a-n|>=|m-a+a-n|=|m-n|

f(x)＝｜x-a｜,f(-x)＝｜x+a｜

f(x)+f(-x)=|x-a|+|x+a|>=|2x|>2
x<-1或x>1