离散信号的频谱特征

发布网友 发布时间：2022-04-23 13:30

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热心网友 时间：2023-10-15 18:41

在地球物理资料的数据处理中，研究各种信号谱的形态，都是从连续函数开始，而实际资料的处理又必须从离散信号入手，因为实测的异常并非是连续函数，而是间断地分布在各个观测点上。由于实际数据并不是连续的，测区的范围也不可能是无限的，因此在数据处理中实际采用的是有限离散傅里叶变换。然而由于“有限”和“离散”的影响，实际资料的频谱具有一些需要引起重视的特点。

1.抽样定理与数据离散化

用于进行数据处理的实测重磁数据都是离散的，它实际上是对连续信号的离散化。那么离散信号能否反映连续信号就是一个重要的问题。

对于实测的重磁资料，测区是有限的，场值常常用离散形式来表示（图10-11)所示。设ΔT异常在（0＜x＜L_x，0＜y＜L_y）矩形网格范围内，x方向取样间隔为Δx，取样点数为M，L_x＝MΔx为x方向的基本波长；y方向取样间隔为Δy，取样点数为N，L_y＝NΔy为y方向的基本波长，则

分别为x方向和y方向的基频。其频率

。

图10-11 离散取样示意图

由傅里叶分析知道，任何一个连续信号都可以表示为无限多个谐波（正弦波）的叠加。根据正弦波抽样定理，若抽样间隔为Δ，则当正弦波的频率

时，离散信号可以唯一的确定正弦波。当

时则不能。因此如果连续信号T（x）的频谱为S_T（f），以抽样间隔为Δ抽样得到的离散信号为T（mΔ)，那么如果S_T（f）有截止频率f_c，即当|f|≥f_c时，S_T（f）＝0；当

时，则由T（mΔ）可以完全确定频谱S_T（f），且T（mΔ）可以确定T（x）。这就是抽样定理。

如果把离散信号T（mΔ）确定的频谱S_T（f）展开，可以看到它是一个周期为

的周期函数，并且存在一个截止频率

，这一频率也称为尼奎斯特频率。当连续信号的频谱有大于尼奎斯特频率的高频成分时，离散后，这些高频成分就要加到低于尼奎斯特频率的范围

上去。称这种高频成分为假频。这种不同频率成分混迭的现象称为假频现象（或混迭现象）。在抽样中如果发生假频现象，则抽样后所得的离散信号就不能反映原始信号的性质，也就失去了由抽样进行数据处理的目的。因此在对实测重磁异常离散化时，去假频是十分重要的。这就要求取样间隔至少要小于最小有效异常的二分之一。

2.有限数据窗与测区范围

用有限的测区范围来代替无限的积分区间，实际上相当于加了一个有限长的数据窗。如果窗无限长，即窗函数W（x）＝1，它的频谱（波谱）是δ函数，因此

勘探重力学与地磁学

这说明所得的频谱与真实的谱是相同的。

如果窗函数W（x）为一矩形窗，即

勘探重力学与地磁学

它的频谱为

，则

勘探重力学与地磁学

积分表示了对谱S_T（f）的一种光滑作用，从而影响其分辨力。上式说明，对离散数据用有限的矩形窗函数截断，然后进行傅里叶变换时，得不到真实的谱函数。当剖面从无限长截成有限区间时对谱所产生的影响称为皱波效应。将无限区间变成有限区间时，必须考虑有限数据窗的类型和宽度。

图10-12给出了矩形窗和汉宁窗的频谱。可以看出，矩形窗主瓣的宽度小，这意味着光滑作用小。但其旁瓣幅度太大，皱波效应明显。而汉宁窗与之相反，对窗的要求是其频谱主瓣宽度小，旁瓣幅度小。但这二者不能兼得。一般有限数据窗多采用汉宁窗，即将空间域的离散取值乘以汉宁窗函数：

图10-12 矩形窗和汉宁窗的频谱

实线为汉宁窗频谱；虚线为矩形窗频谱

勘探重力学与地磁学

式中：2L为离散取值的区间，也称为截断区间。汉宁窗的频谱函数为

勘探重力学与地磁学

其中：

勘探重力学与地磁学

测区边缘采用汉宁函数使场值逐渐衰减为零。具有相同作用的窗函数还有其他不同形式，而汉宁窗比较简单。

对有限离散傅里叶变换而言，若窗的宽度为L，则基频（基本波数）为

，谐波为

，

，…。若L增加一倍，则基本波数为

，谐波为

，…。

可见后者比前者有两倍的分辨力，而且会增加频谱的稳定性。因此窗的宽度必须与要研究的频谱的最小细节相当。在实践中，要求测区范围（或剖面长度）至少应达到最深目标体埋深的4～5倍。

3.吉布斯效应

吉布斯效应是经傅里叶变换后存在的一种摆动现象。产生吉布斯效应的原因是空间域函数中存在着第一类间断点，以及空间域和频率域有限截断可能形成的边部不对称的情况。空间域函数区域内的第一类间断点的产生，是由于在进行离散取样时遇到重磁异常梯度变化较大的地段所引起的。而有限截断形成的边部不对称情况则发生在研究区域的边部。从理论上可以计算出摆动幅度的大小（这里略）。

为了避免和减少吉布斯效应的影响，应尽量减少间断点。对于空间域函数区域内离散取样遇到重磁异常梯度变化较大地段的情况，可采用适当增大取样点密度，减小取样点距的方法来改善。对于有限截断形成的边部不对称情况，可在取样过程中在测区的边部予以适当的扩充，使其边部值趋于零或相等。

4.观测资料频谱的周期性和共轭性

由于实测资料的离散化而带来的周期性是实测资料频谱的一个重要特性。图10-13是频谱周期性的示意图。图中实线框是原始频谱范围。在此范围之外，频谱呈周期性开拓，如虚线框所示。

图10-13 实测资料频谱的周期性

图中O₁，O₂，O₃等价于O。在频谱图中分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个象限，对第一象限来说，在x方向圆频率u的最高值为

，在y方向圆频率v的最高值为

。这是以Δx和Δy为取样间隔的离散数据的最高频率。在其他象限，频率的起算点不再是O。由于周期性，在第Ⅱ象限的频率值以O₁为原点进行计算，在第Ⅱ象限u＜0，v＞0。同理，在第Ⅲ象限，以O₂为原点，u＜0，v＜0。在第Ⅳ象限，以O₃为原点，u＞0，v＜0。实测资料频谱的周期特性在实践中不容忽视。

在重磁资料处理中，我们研究的对象是实函数。实函数有限离散傅里叶变换的共轭性是实测资料频谱的另一重要特性。

根据离散傅里叶变换公式，已知n为空间域取样点的序号，若令式中n＝N-n，则有

勘探重力学与地磁学

式中：

代表

的共轭函数，也表明了频谱的共轭特性。

对于二维情况可以写出

勘探重力学与地磁学

上式表明，第三象限的频谱是第一象限频谱的共轭；第四象限的频谱是第二象限频谱的共轭。图10-14给出了频率域的共轭关系。图中Ⅰ，Ⅲ象限和Ⅱ，Ⅳ象限中对应符号点的频谱互为共轭。这一特性告诉我们，重磁数据处理只需对频谱的Ⅰ，Ⅱ象限值进行计算，而对Ⅲ，Ⅳ象限内的频谱只需求Ⅰ，Ⅱ象限频谱的共轭就可以得到整个区域上的频谱计算结果。

图10-14 实测资料频谱的共轭关系图

热心网友 时间：2023-10-15 18:41

热心网友 时间：2023-10-15 18:41

在地球物理资料的数据处理中，研究各种信号谱的形态，都是从连续函数开始，而实际资料的处理又必须从离散信号入手，因为实测的异常并非是连续函数，而是间断地分布在各个观测点上。由于实际数据并不是连续的，测区的范围也不可能是无限的，因此在数据处理中实际采用的是有限离散傅里叶变换。然而由于“有限”和“离散”的影响，实际资料的频谱具有一些需要引起重视的特点。

1.抽样定理与数据离散化

用于进行数据处理的实测重磁数据都是离散的，它实际上是对连续信号的离散化。那么离散信号能否反映连续信号就是一个重要的问题。

对于实测的重磁资料，测区是有限的，场值常常用离散形式来表示（图10-11)所示。设ΔT异常在（0＜x＜L_x，0＜y＜L_y）矩形网格范围内，x方向取样间隔为Δx，取样点数为M，L_x＝MΔx为x方向的基本波长；y方向取样间隔为Δy，取样点数为N，L_y＝NΔy为y方向的基本波长，则

分别为x方向和y方向的基频。其频率

。

图10-11 离散取样示意图

由傅里叶分析知道，任何一个连续信号都可以表示为无限多个谐波（正弦波）的叠加。根据正弦波抽样定理，若抽样间隔为Δ，则当正弦波的频率

时，离散信号可以唯一的确定正弦波。当

时则不能。因此如果连续信号T（x）的频谱为S_T（f），以抽样间隔为Δ抽样得到的离散信号为T（mΔ)，那么如果S_T（f）有截止频率f_c，即当|f|≥f_c时，S_T（f）＝0；当

时，则由T（mΔ）可以完全确定频谱S_T（f），且T（mΔ）可以确定T（x）。这就是抽样定理。

如果把离散信号T（mΔ）确定的频谱S_T（f）展开，可以看到它是一个周期为

的周期函数，并且存在一个截止频率

，这一频率也称为尼奎斯特频率。当连续信号的频谱有大于尼奎斯特频率的高频成分时，离散后，这些高频成分就要加到低于尼奎斯特频率的范围

上去。称这种高频成分为假频。这种不同频率成分混迭的现象称为假频现象（或混迭现象）。在抽样中如果发生假频现象，则抽样后所得的离散信号就不能反映原始信号的性质，也就失去了由抽样进行数据处理的目的。因此在对实测重磁异常离散化时，去假频是十分重要的。这就要求取样间隔至少要小于最小有效异常的二分之一。

2.有限数据窗与测区范围

用有限的测区范围来代替无限的积分区间，实际上相当于加了一个有限长的数据窗。如果窗无限长，即窗函数W（x）＝1，它的频谱（波谱）是δ函数，因此

勘探重力学与地磁学

这说明所得的频谱与真实的谱是相同的。

如果窗函数W（x）为一矩形窗，即

勘探重力学与地磁学

它的频谱为

，则

勘探重力学与地磁学

积分表示了对谱S_T（f）的一种光滑作用，从而影响其分辨力。上式说明，对离散数据用有限的矩形窗函数截断，然后进行傅里叶变换时，得不到真实的谱函数。当剖面从无限长截成有限区间时对谱所产生的影响称为皱波效应。将无限区间变成有限区间时，必须考虑有限数据窗的类型和宽度。

图10-12给出了矩形窗和汉宁窗的频谱。可以看出，矩形窗主瓣的宽度小，这意味着光滑作用小。但其旁瓣幅度太大，皱波效应明显。而汉宁窗与之相反，对窗的要求是其频谱主瓣宽度小，旁瓣幅度小。但这二者不能兼得。一般有限数据窗多采用汉宁窗，即将空间域的离散取值乘以汉宁窗函数：

图10-12 矩形窗和汉宁窗的频谱

实线为汉宁窗频谱；虚线为矩形窗频谱

勘探重力学与地磁学

式中：2L为离散取值的区间，也称为截断区间。汉宁窗的频谱函数为

勘探重力学与地磁学

其中：

勘探重力学与地磁学

测区边缘采用汉宁函数使场值逐渐衰减为零。具有相同作用的窗函数还有其他不同形式，而汉宁窗比较简单。

对有限离散傅里叶变换而言，若窗的宽度为L，则基频（基本波数）为

，谐波为

，

，…。若L增加一倍，则基本波数为

，谐波为

，…。

可见后者比前者有两倍的分辨力，而且会增加频谱的稳定性。因此窗的宽度必须与要研究的频谱的最小细节相当。在实践中，要求测区范围（或剖面长度）至少应达到最深目标体埋深的4～5倍。

3.吉布斯效应

吉布斯效应是经傅里叶变换后存在的一种摆动现象。产生吉布斯效应的原因是空间域函数中存在着第一类间断点，以及空间域和频率域有限截断可能形成的边部不对称的情况。空间域函数区域内的第一类间断点的产生，是由于在进行离散取样时遇到重磁异常梯度变化较大的地段所引起的。而有限截断形成的边部不对称情况则发生在研究区域的边部。从理论上可以计算出摆动幅度的大小（这里略）。

为了避免和减少吉布斯效应的影响，应尽量减少间断点。对于空间域函数区域内离散取样遇到重磁异常梯度变化较大地段的情况，可采用适当增大取样点密度，减小取样点距的方法来改善。对于有限截断形成的边部不对称情况，可在取样过程中在测区的边部予以适当的扩充，使其边部值趋于零或相等。

4.观测资料频谱的周期性和共轭性

由于实测资料的离散化而带来的周期性是实测资料频谱的一个重要特性。图10-13是频谱周期性的示意图。图中实线框是原始频谱范围。在此范围之外，频谱呈周期性开拓，如虚线框所示。

图10-13 实测资料频谱的周期性

图中O₁，O₂，O₃等价于O。在频谱图中分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个象限，对第一象限来说，在x方向圆频率u的最高值为

，在y方向圆频率v的最高值为

。这是以Δx和Δy为取样间隔的离散数据的最高频率。在其他象限，频率的起算点不再是O。由于周期性，在第Ⅱ象限的频率值以O₁为原点进行计算，在第Ⅱ象限u＜0，v＞0。同理，在第Ⅲ象限，以O₂为原点，u＜0，v＜0。在第Ⅳ象限，以O₃为原点，u＞0，v＜0。实测资料频谱的周期特性在实践中不容忽视。

在重磁资料处理中，我们研究的对象是实函数。实函数有限离散傅里叶变换的共轭性是实测资料频谱的另一重要特性。

根据离散傅里叶变换公式，已知n为空间域取样点的序号，若令式中n＝N-n，则有

勘探重力学与地磁学

式中：

代表

的共轭函数，也表明了频谱的共轭特性。

对于二维情况可以写出

勘探重力学与地磁学

上式表明，第三象限的频谱是第一象限频谱的共轭；第四象限的频谱是第二象限频谱的共轭。图10-14给出了频率域的共轭关系。图中Ⅰ，Ⅲ象限和Ⅱ，Ⅳ象限中对应符号点的频谱互为共轭。这一特性告诉我们，重磁数据处理只需对频谱的Ⅰ，Ⅱ象限值进行计算，而对Ⅲ，Ⅳ象限内的频谱只需求Ⅰ，Ⅱ象限频谱的共轭就可以得到整个区域上的频谱计算结果。

图10-14 实测资料频谱的共轭关系图

热心网友 时间：2023-10-15 18:41