离散数学群中可以有数字吗
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发布时间：2023-05-08 02:38
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时间：2024-12-05 12:51
定义1：设 ，若 满足结合律，则 为半群。
定义2：设半群 ，若 满足交换律，则 为可交换半群。
定义3：设半群 ，若 有幺元，则 为独异点（或含幺半群或拟群）
定义4：设半群 ，存在 ， ,
则称 为循环半群， 为生成元。
定义5：设半群 ，存在 ， ，
这里 表示有限个 中的元素及逆元经 运算生成的元素，则 为 的生成集合。
二、群
定义6：若 是独异点并且每个元素均存在逆元，则 是群，记为 。
易知，群没有零元，因为零元没有逆元。
例如： 都是群，分别称为整数加群，有理数加群，实数加群，复数加群。
定义7：若群 ， 是可交换的，则称 是可交换群或 Abel 群。
定义8：群 的基数称为群 的阶。
约定，在不引起歧义的情况下， 可省略，如： 。
定理：群 是 Abel 群，当且仅当
证明：
① 充分性：因为 是群，又对任意 ，有
故群 是 Abel 群；
② 必要性：因为 是 Abel 群，则对任意 ，有
综上所述，定理得证。
三、子群
定义9：给定群 ， 为 的一个子群，当且仅当
① ;
② 。
易知， 的幺元属于 。
定理： 设 为群， 是 的非空子集，则 是 的子群当且仅当 。
定义10：给定群 及幺元 ，则 与 为平凡子群。
