斐波拉契数列通项公式和一类问题的解法

发布网友发布时间：2023-05-05 14:49

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斐波拉契数列的通项公式之推导由an+2=
an+1+an
有an+2-
an+1-
an=0
构造特征方程
x2-x-1=0,
令它的两个根是p,q
有pq=-1
p+q=1
下面我们来证
{an+1-pan}是以q为公比的等比数列。
为了推导的方便，令a0=1，仍满足an+2=
an+1+an
an+1-pan
=
an+an-1
-pan
=
(1-p)
an-pqan-1
=q(an-pan-1)
所以：{an+1-pan}是以q为公比的等比数列。
a1-pa0
=1-p=q
所以
an+1-pan=q*qn=qn+1
①
同理
an+1-qan=p*pn=pn+1
②
①-②:(q-p)an=
qn+1-pn
因p=(1-√5)/2,q=(1+√5)/2，q-p=√5，所以
an=(1/√5){[(1+√5)/2]n+1-[(1-√5)/2]
n+1}
可验证a0，a1也适合以上通项公式。
顺便指出，上述方法也可用于推导形如
an+2=
Aan+1+Ban
(A，B是常数)的数列的通项公式。
相应的特征方程是
x2-Ax-B=0.
****************************************************************
当a1=1,a2=1,a3=2,a4=3,……
an+2=
an+1+an
{
an}就是著名的斐波拉契数列，通常用{F(n)}表示
F(n)=
(1/√5){[(1+√5)/2]n-[(1-√5)/2]
n}
它的前n项的和Sn=F(n+2)-1
另外，lim[F(n)/F(n+1)]=
[√5-1]/2
(当n趋于无穷时)

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