如何在线性代数中求出正交矩阵?
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发布时间：2023-04-22 22:17
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热心网友
时间：2023-10-28 05:06
在线性代数中，正交矩阵是指其列向量组成的矩阵中的每个列向量互相正交，并且每个列向量的模长为1。因此，求解正交矩阵的方法如下：
首先，选择一个线性无关的向量组成矩阵A，即A的列向量线性无关。这些列向量可以是随机的，也可以是基于特定问题的选择。
对矩阵A进行QR分解，将A分解为正交矩阵Q和上三角矩阵R的乘积，即A=QR。QR分解的算法有多种，包括Gram-Schmidt算法、Householder变换和Givens旋转等。其中，Gram-Schmidt算法是最简单的方法之一，但是可能会导致数值稳定性问题。而Householder变换和Givens旋转算法则相对更为稳定。
通过Q矩阵得到正交矩阵O。因为Q矩阵是正交矩阵，所以将它的每个列向量除以其模长即可得到正交矩阵O。即：
O = Q / ||Q||
其中，||Q||表示Q矩阵的模长，即矩阵的每个列向量模长的平方和的平方根。
通过以上方法，我们可以得到一个正交矩阵O。需要注意的是，正交矩阵不一定是唯一的，因为存在多个正交矩阵可以满足同样的要求。
热心网友
时间：2023-10-28 05:07
正交基的求法比较固定，就是施密特正交化的过程。
将基a1=(1,1,1) a2=(0,1,1) a3=(0,0,1)化成标准正交基。
ab如果垂直，则a点乘b等于0，因此可以这样正交化
a1不变，a2' = a2-a1(a1 .a2)/|a1|^2，这样a2' .a1 = a2 .a1 - (a2.a1)a1.a1
a3 = a3 - a1(a1 .a3)/|a1|^2 - a2'(a2' .a3)/|a2|^2
带入运算即可。
扩展资料：
对一个 n 行 n 列的非零矩阵 A，如果存在一个矩阵 B 使 AB = BA =E（E是单位矩阵），则 A 为非奇异矩阵（或称可逆矩阵），B为A的逆阵。
矩阵非奇异（可逆）当且仅当它的行列式不为零。
矩阵非奇异当且仅当它代表的线性变换是个自同构。
矩阵半正定当且仅当它的每个特征值大于或等于零。
矩阵正定当且仅当它的每个特征值都大于零。
解线性方程组的克拉默法则。
参考资料来源：百度百科-线性代数
热心网友
时间：2023-10-28 05:07
