如何求正三棱锥的内切球半径?

发布网友发布时间：2023-04-09 23:41

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热心网友时间：2023-09-12 12:45

过程如下：

设正四面体的棱长为1，则它的高为√6/3

而棱切球的球心必在正四面体的高上

设球心到顶点的距离为x，到底面的距离为y，则有x+y=√6/3

球心到棱的距离为半径R（且切点必在棱的中点上）

在顶点和侧棱的中点、球心之间构成一个直角三角形，则有R^2+1/4=x^2

在底面中心、球心和底面棱的中点之间也构成一个直角三角形，则有R^2=y^2+(√3/6)^2

有上述三个方程可解得：R=√2/4

在把四面体的棱长扩为a，则棱切球的半径为√2a/4

x^2表示x的平方，其他类似

√2/4是四分之根号二

扩展资料：

正四面体的四个旁切球半径均相等，等于内切球半径的2倍，或等于四面体高线的一半。正四面体的内切球与各侧面的切点是侧I面三角形的外心，或内心，或垂心，或重心，除外心外，其逆命题均成立。

正四面体的外接球球心到四面体四顶点的距离之和，小于空间中其他任一点到四顶点的距离之和。正四面体内任意一点到各侧面的垂线长的和等于这四面体的高。对于四个相异的平行平面，总存住一个正四面体，其顶点分别在这四个平面上。

四面体的每一条棱与其对棱的中点确定一个平面，这样的六个平面共点。四面体外接平行六面体的各棱分别平行且等于四面体中连结各对棱中点的线段。四面体的六条棱的六个中垂面共点，这点是四面体外接球的中心.每个四面体有惟一的外接球。

因为正三棱锥底面为正三角形，所以高线位于任意顶点与底边中点连线，又三线合一，所以重心位于高线距顶点2/3处，即可算出顶点与重心的距离。

又知正三棱锥边长，即可根据勾股定理算出圆心所在直线（即顶点与底面重心的连线）的长度，即可算出底面与球心的距离（即内切球半径）。