n阶有限群的子群一定不是

发布网友发布时间：2023-05-04 14:41

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热心网友时间：2023-10-31 01:15

答案是否定的。便于论证的例子来自于自由群。

n元自由群不能被少于n个元素生成。首先利用泛性质证明n元自由群的交换化是n元自由abel群，然后用分类定理或者线性代数的论证（例如张量到Q上）说明n元自由abel群不能被少于n个元素生成。
2元自由群F(a,b)含有一个可数元生成的自由群。这个群是由a^{-n}ba^n生成的，其中n是所有整数。不难发现一串生成元相乘，必须相邻两项相抵，因此必须是自由群。
实际上上述构造有拓扑解释。2元自由群是8字空间基本群，我们将其中一个圆解开，得到一条实轴，每个整数点上粘附一个圆圈，这个空间的基本群正是可数生成的自由群。