非参数统计的统计方法
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发布时间：2022-04-23 19:48
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时间：2023-10-05 12:48
重要的非参数统计方法秩方法是基于秩统计量（见统计量）的一类重要的非参数统计方法。设有样本X1,X2，…，Xn，把它们由小到大排列，若Xi在这个次序中占第Ri个位置（最小的占第1个位置），则称Xi的秩为Ri(i=1,2，…，n）。1945年F.威尔科克森提出的两样本秩和检验是一个有代表性的例子。设X1,X2，…，Xm和Y1,Y2，…，Yn分别是从分布为 F(x）和 F(x-θ）的总体中抽出的样本，F连续但未知，θ也未知，检验假设 H：θ=0，备择假设为θ>0（见假设检验）。记Yi在混合样本（X1,X2，…，Xm，Y1，Y2，…，Yn）中的秩为Ri，且为诸秩的和，当W >C时，否定假设H，这里C决定于检验的水平。这是一个性能良好的检验。秩方法的一个早期结果是C.斯皮尔曼于1904年提出的秩相关系数。设（X1，Y1),(X2，Y2），…，（Xn,Yn）是从二维总体（X，Y）中抽出的样本，Ri为Xi在（X1,X2，…，Xn）中的秩，Qi为Yi在（Y1,Y2，…，Yn）中的秩，定义秩相关系数为（Ri,Qi)(i=1,2，…n）的通常的相关系数（见相关分析）。它可以作为X、Y之间相关程度的度量，也可用于检验关于X、Y独立性的假设。
次序统计量和U 统计量在非参数统计中也有重要应用。前者可用于估计总体分布的分位数（见概率分布）、检验两总体有相同的分布及构造连续总体分布的容忍限和容忍区间（见区间估计）等。后者主要用于构造总体分布的数字特征的一致最小方差无偏估计（见点估计）及基于这种估计的假设检验。
苏联数学家Α.Η.柯尔莫哥洛夫和Β.И.斯米尔诺夫在20世纪30年代的工作开辟了非参数统计的一个方面，他们的方法基于样本X1,X2，…，Xn的经验分布函数Fn(x）（见样本）。柯尔莫哥洛夫考察 Fn(x）与理论分布F(x）的最大偏差墹n，当墹n超过一定限度时，否定这个理论分布F(x）。这就是柯尔莫哥洛夫检验。斯米尔诺夫则考察由两个分布为F(x）和g(x）的总体中抽出的样本X1，X2，…，Xm和Y1,Y2，…，Yn计算其经验分布Fm(x）和gn(x）的最大偏差墹mn，当墹mn超过一定限度时，否定“F与g相等”这个假设。这就是斯米尔诺夫检验。
在非参数性估计方面，有关于估计分布的对称中心、概率密度函数和回归函数等比较重要的成果。
