怎么将一般式转化顶点式?
发布网友
发布时间：2022-04-23 20:52
共1个回答
热心网友
时间：2023-10-09 10:39
/ 57:17
精彩点评一
邹正阳老师选择研究的2021年大连这道压轴题，是典型的含参分段二次函数，其中参数m的作用除了影响抛物线的位置，还影响了分段范围，由于两支抛物线的开口大小、方向确定，所以主要的运动变化集中在分段范围以及对应的顶点和交点。
第1问给出m的值，让学生上手比较容易，判断M点在其中一个分支并求相应的纵坐标n，在此基础上，给出自变量取值范围求最值，在这个小问中，其实不用图象也能求解，但学生如果作了图，会对整个动态抛物线的初始状态有了解，有助于后面的解题；
第2问m的值不确定，但给出的直线x=1/2m位置却是相对确定的，因此较容易判断它与哪一支抛物线相交，这个小问实质上仍然属于单抛物线问题，∠POQ=45°，这显然指向的是特殊直角三角形，由它的等量关系出发求解。但这个时候，需要作图，这对学生来讲是个难点，毕竟含参、分段两个困难工作集中，极考验学生对二次函数图象与性质的理解；
第3问对作图的要求更高，学生首先要弄清楚点A和点B属于分段函数的哪一个分支，然后再作垂线，分设坐标，利用a=-3c这个桥梁建立参数间的关联，最后得到含参方程组，从而求得m的值。
邹老师归纳整理的解法非常精彩，并针对每一种解法，耐心阐述了“如何想到”，例如为什么在作图时，采用零点分段法，又如何进行分段绘制等，在对题目条件的挖掘中，条分缕析，将一道综合题还原成若干个较为简单的子问题，而每一个子问题，根源便是我们的教材。
学生的作图第一重境界是利用工具绘制准确的函数图象，第二重境界是绘制较为准确的“示意草图”，第三重境界是在脑子里作图。我们在初学函数图象时，往往是第一重境界，它也是学习的基础，这一步走踏实了，才有可能升往更高境界中。绘制草图，多见于草稿纸上的思维雏形，它的特点是绘制简单，速度快，可以迅速将脑子里的图形变到纸上，以方便圈点勾划，同时它的更新速度也很快，一种思路行不通，马上换图，特别适合于解决动态函数，毕竟纸上作出的图不能动。而在脑子里作图，则需要对函数图象有更深的理解，例如二次函数一般式中的参数a，b，c，是在大量作图之后，明确各自对图象的影响作用。
邹老师从给定范围的二次函数，到动态取值范围的静态二次函数，再到给定范围的动态二次函数，再到动态范围的动态二次函数，最后到分段二次函数，即本题中的条件，这一系列思考背后，是对初中阶段二次函数图象教学的反思。从这个反思过程中，我学习到如下四点：
第一，函数概念的教学是根基。函数的本质是变量之间的关系，将自变量和因变量分别用横纵坐标表示之后，函数的“形”就出来了，从这个角度来看，函数图象就是所有符合这种关系的点的集合，从一次函数开始，到二次函数，反比例函数，概念教学中，都需要触及这个本质；
第二，参数的意义，以二次函数为例，通常情况下解析式的右边是一个二次三项式，那么各项系数取值不同，函数图象有什么变化，这在平时课堂中都涉及到了，那么这些变化中的图象，形似背后，是参数的作用，最简单的结论就是在学习y=ax²这一课中，当a>0，结果所有的抛物线开口全部向上，发现这个规律的过程，就是学生对参数a的认知过程；
第三，通常情况下，含参二次函数，必然是动态图象，而这些运动，又是按某种规律进行的，这些规律，就是参数间的关联，再复杂的压轴题，参数之间总会有关联，难度越高，关联越紧密。而分段函数又更进一步提升了思考难度，我们研究函数图象，基本的元素如交点、顶点、唯一公共点等，在分段这个大背景下，更需要学生分类讨论，本题难点也正在于此；
第四，压轴题的难，主要是难在思维，和2019年长春的分段函数相比，大连这道题比较温和，至少通过前两问，给学生指出了一条可行的路，而要想正确解出压轴题，还是要依靠平时对这一类问题的研究。这又回到了解题反思上，我们究竟要反思什么？是解法吗？讲完一道压轴题，得到若干经验或技巧，然后让学生记住以便下次再套？
显然不是，因为那就是刷题的典型做法。分段函数在各地压轴题中并不罕见，针对它的解题模型也有，但我们给学生讲完一道题，结果却是得到一种可简单“复制”的解法思路，这是不够的。在九年级复习阶段，我们会解大量的压轴题，而过一段时间之后，学生多半会忘记这些题目的具体解法，这很正常，然而忘记解法并不可怕，遗忘后剩下的数学思想才是我们真正想要让学生学会的东西，这道压轴题，学生可以不记得具体如何求解，但不应该忘记分类思想，不应该忘记作草图，不应该忘记课堂上曾经画过的图象，更不应该忘记老师对待题目的态度。
我想在我下一次备课的时候，也要把这种态度备到教案中。
精彩点评二
今晚我认真回放学习了邹正阳老师对2021年辽宁省大连市中考数学第26题的解题研究，收获颇丰。此道题的大题干是一个以m为分界值的分段函数问题，从特殊值到一般的范围分三大问呈现，现分享如下：
（1）第一问分两小问，第1小问是给定的m值，给定点的横坐标，学生很容易判断属于哪一段函数从而列方程解决；第2小问是给定x的范围，求最值，最值问题是学习二次函数的一个课时的内容，学生很熟悉，但由于要分段研究所以相比较第一问有一定的障碍，邹老师在这里分别从函数表达式求最值以及画出图像根据点的高低找最值两个方面进行了剖析，清晰直观！
（2）第二问的m以大于0的范围层层递进，此题一是分段给学生设置了思维上的困扰，二是没有图形，准确的画出图形也是学生处理问题的一大难点，但题目所涉及的直线x=m/2与函数的交点，由于小于m，所以可以确定交点在x小于m这一段函数上，从而根据45度构造等腰直角三角形，从而根据线段相等列出方程。
（3）第三问更进一步扩宽m的范围，基于第二问的研究，邹老师通过分界值m，以及两段抛物线的对称轴，运用比较大小零点法进行了分类，并运用了几何画板进行了演示，根据画图探究，求出相应点的坐标，抓住垂直，从学生知识学习的过程分别运用了全等，勾股，三角函数得到k值互为负倒数三种不同方法进行处理，学生如果经历这种题目的探究，画图能力以及分类探究能力将会有很大的提高！
通过本次研题学习，佩服邹老师敢于挑战含字母系数的分段函数题目研究的勇气的同时，更激励我自己在以后的教学中，要注意以下三点：一是要训练学生的画图能力，识图能力，直观想象能力；二是要鼓励学生要敢于根据题目条件根据图形探究列出相应的数学式子；三是要教学生如何把条件及其要解决的问题关联我们的数学课本知识.
精彩点评三
听了邹老师的本期节目，我受益匪浅。领会到讲题不仅仅是把这个题目讲完，更是要把这一类题目讲透。
邹老师选择了双对称轴分段函数这个点进行切入，把所有的情况都进行了详细的分析讲解，让我对这一类问题由原来的毫无头绪，变得豁然开朗。分段函数本来就是一个难点，再加上参数，更会让同学们觉得无从下手，或者想不清楚。那么我们要按什么来分类，怎么样进行讨论才是关键。邹老师讲到的零点分段思想非常的好。这和绝对值的化简方法类似，能够找到我们熟悉的原理进行切入。
首先是怎么样找零点，就是令顶点式括号里面的值为0，计算出x的值，作为分解的零点。然后，将对称轴中带参数的一个，在数轴上进行分段讨论。这样就能够包含所有的情况。端点可以包含在任何一段里面都可以。这是邹老师的重要方法之一。
数形结合的思想是解决所有函数问题的必经之路。也就是要我们能够熟悉函数的图像性质，能根据现有条件进行画图。这对同学们来说是一个极大的挑战。在讲解如何画图的时候，邹老师分了两大类，1.定区间，动对称轴，2.动区间，定对称轴。在第1类中，参数分别在a,b,c的位置出现时的情况都进行了详细说明。这让我们能够条理清楚的理解每一种单独的情况怎么样画图，了解清楚之后，在有多个分段函数综合的时候也会进行画图。
邹老师的第三个重点是，二次函数的交点问题和一元二次方程根的分布问题进行了结合。利用函数的单调性进行讨论，能够使同学们明确函数与方程的关系。也就是我们做题的第三步，确定了图像和情况之后，怎么样将几何图形关系转化为代数方程或不等式。
邹老师对题目的选取非常典型，题目难度不大，但是能够将这一类问题进行复习和梳理。真正做到了由一个通一类的教学思想。相比之下，我们平时的课堂中，总是贪多求快，希望尽量多的讲，但是每一个都没有讲清楚，都是蜻蜓点水，泛泛而谈，同学们听完也只能懂个皮毛。我们老师的讲解都无法做到举一反三的话，那么我们又如何让学生做到触类旁通呢？这是我受到的最大的启示。
在双减*之下，我们需要高效课堂。所谓的高效课堂不是快点讲，而是讲有内容，有方法，有思想，有研究的课。这需要我们老师进行大量的研究和探索在前。因此备课的重要性就体现在这里。当然我们的每节课不可能像研题讲座这样详细，但是我们可以利用张博士提供的这个平台，资源共享，合作互助，共同探索，共同进步。我想，我们这个系列节目的目的就在于此吧。
最后，感谢邹老师的精心备课，为我们指引了方向，做出了表率。来日可期，大家加油！相信在我们不断的探索和努力之下，我们的课堂会更高效，孩子会更有学习的期待！
个人感言
一直想挑战下分段函数的图像和性质，尤其是带有参数的题目。随着参数的变化，函数的图像也会随着变化。为什么要分类，怎样去分类，怎样用临界点去控制图像，怎样将图像用等价的式子表示出来，里面蕴含着无穷的魅力。从开始的考虑不周，到最后有一些心得体会，自己从研题的经历中收获满满。在此期间有幸得到黄毅老师，刘国洪老师的细心指导，使得自己从不同的角度去分析，发现并完善各种解题方法，同时对几何画板也有了更进一步的了解。黄毅老师，程雪琼老师和许莎老师的点评意见十分精彩，也促使我反思自己的问题并不断进步。还有叶先玖老师，每次遇到写文章或者解题思路的困难总能在他的帮助下迎刃而解。最后感谢张博士提供的宝贵的*的机会，也十分感恩这具有教研氛围以及合作意识的优秀团队，每一位老师都是我学习的对象。路漫漫其修远兮，吾将上下而求索。
邹正阳老师简介
邹正阳，宜昌市第十六中学数学老师，西陵区学科带头人，区骨干教师，五年高中，九年初中数学教学经历，一直在不停的思考数学教学。
