讨论中学数学中函数的性质与函数图像的关系,并以指数函数说明。
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发布时间：2022-04-23 20:48
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时间：2023-07-06 18:01
的图象和性质2010-11-20
14:341、二次函数y=ax2＋c的图象与性质
(1)
抛物线
y=ax2＋c的形状由a决定，位置由c决定．
(2)二次函数y=ax2＋c的图象是一条抛物线，
顶点坐标
是(0，c)，
对称轴
是y轴．
当a>0时，图象的开口向上，有最低点(即顶点)，当x=0时，y最小值=c．在y轴左侧，y随x的增大而减小；在y轴右侧，y随x增大而增大．
当a<0时，图象的开口向下，有最高点(即顶点)，当x=0时，y最大值=c．在y轴左侧，y随x的增大而增大；在y轴右侧，y随x增大而减小．
(3)抛物线y=ax2＋c与y=ax2的关系．
抛物线y=ax2＋c与y=ax2形状相同，只有位置不同．抛物线y=ax2＋c可由抛物线y=ax2沿y轴向上或向下平行移动|c|个单位得到．当c>0时，向上平行移动，当c<0时，向下平行移动．
2、二次函数y=a(x－h)2的图象与性质
①抛物线y=a(x－h)2的对称轴为x=h，顶点为(h，0)．
②y=a(x－h)2的形状与y=ax2的图象的形状相同，只是位置不同，它们彼此可以通过平移而得到．
③把y=ax2的图象向左(或向右)平移|h|个单位，即得y=a(x－h)2的图象，由实践可知，当h＞0时，向右平移，当h＜0时，向左平移．
3、二次函数y=a(x－h)2＋k的图象与性质
一般地，抛物线y=a(x－h)2＋k与y=ax2的形状相同，只是位置不同．抛物线y=a(x－h)2＋k有如下特点：
①a＞0时，开口向上；a＜0时，开口向下；
②对称轴是平行于y轴的直线x=h；
③顶点坐标是(h，k)．
二次函数y=a(x－h)2＋k的图象可由抛物线y=ax2向左(或向右)平移|h|个单位，再向上(或向下)平移|k|个单位而得到．
4、二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象和性质
即可化为y=a(x－h)2＋k的形式，因此y=ax2＋bx＋c与y=a(x－h)2＋k的图象具有一致性，即y=ax2＋bx＋c的图象是一条抛物线，它的顶点坐标为，对称轴是直线．
当a＞0时，抛物线开口向上，有最低点(即顶点)，当时，，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随x的增大而增大．
当a＜0时，抛物线开口向下，有最高点(即顶点)，当时，．在对称轴的左侧，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随x的增大而减小．
由于y=ax2＋bx＋c可化为的形式，所以抛物线y=ax2＋bx＋c可由抛物线y=ax2平移得到：
第一步：若时，把y=ax2的图象向右平移个单位；若时，把y=ax2的图象向左平移个单位；
第二步：若时，再把第一次平移后的图象向上平移个单位；若时，再把第一步平移后的图象向下平移个单位．
所以抛物线y=ax2＋bx＋c与抛物线y=ax2的形状相同，只是位置不同．
5、二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的画法
（1）先确定二次函数的对称轴，在对称轴的左右两侧取自变量x的值，通过列表、描点，用光滑曲线连接得到图象．
（2）通过二次函数的图象进行平移得到抛物线y=ax2＋bx＋c的图象．
6、抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)与系数a、b、c的关系
a、b、c的代数式
作用
字母的符号
图象的特征
a
1．决定抛物线的开口方向；
2．决定增减性
a＞0
开口向上
a＜0
开口向下
c
决定抛物线与y轴交点的位置，交点坐标为(0，c)
c＞0
交点在x轴上方
c=0
抛物线过原点
c＜0
交点在x轴下方
决定对称轴的位置，对称轴是
ab＞0
对称轴在y轴左侧
ab＜0
对称轴在y轴右侧
二、重难点知识讲解
1、二次函数的三种形式：
（1）一般式：y=ax2＋bx＋c(a、b、c是常数，a≠0)；
（2）顶点式：y=a(x－h)2＋k，（h，k）为
函数图象
的顶点；
（3）交点式：y=a(x－x1)(x－x2)，(x1，0)
，
(x2，0)为函数图象与x轴的交点.
2、图象的变换
二次函数的平移规律：任意抛物线y=ax2＋bx＋c都可转化为y=a（x－h）2＋k，便可以由y=ax2适当平移得到．
y=ax2
h＞0向右平移个单位
y=a(x－h)2
k＞0向上平移个单位长度
y=a(x－h)2＋k
h＜0向左平移个单位
k＜0向下平移个单位长度
3、根据已知条件正确求出二次函数的关系式
用待定系数法求函数
解析式
时，应当根据已知条件选择适当的二次函数的形式．如果知道函数图象与x轴的交点，那么选择交点式；如果知道函数图象的顶点，那么选择顶点式；如果知道函数图象上三个一般的点，那么选择一般式．
一次函数
I、定义与定义式：
一次函数
自变量x和因变量y有如下关系：
y=kx+b（k，b为常数，k≠0）
则称y是x的一次函数。
特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。
II、一次函数的性质：
y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k
即
△y/△x=k
III、一次函数的图象及性质：
1．
作法与图形：通过如下3个步骤（1）列表；（2）描点；（3）连线，可以作出一次函数的图象——一条直线。因此，作一次函数的图象只需知道2点，并连成直线即可。
2．
性质：在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b。
3．
k，b与函数图象所在
象限
。
当k＞0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大；
当k＜0时，直线必通过二、
四象限
，y随x的增大而减小。
当b＞0时，直线必通过一、二象限；当b＜0时，直线必通过三、四象限。
特别地，当b=O时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图象。
这时，当k＞0时，直线只通过一、三象限；当k＜0时，直线只通过二、四象限。
IV、确定一次函数的表达式：
已知点A（x1，y1）；B（x2，y2），请确定过点A、B的一次函数的表达式。
（1）设一次函数的表达式（也叫解析式）为y=kx+b。
（2）因为在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程：
y1=kx1+b①
和
y2=kx2+b②。
（3）解这个二元一次方程，得到k，b的值。
（4）最后得到一次函数的表达式。
V、在y=kx+b中,两个坐标系必定经过(0,b)和(-k/b,0)两点
1）
反比例函数
的图象是双曲线，反比例函数图象的两个分支关于原点对称．
（2）当k>0时，反比例函数图象的两个分支分别在第一、三象限内，且在每个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，图象的两个分支分别在第二、四象限内，且在每个象限内，y随x的增大而增大．
注意：不能说成“当k＞0时，反比例函数y随x的增大而减小，当k＜0时，反比例函数y随x的增大而增大.”因为，当x由负数经过0变为
正数
时，上述说法不成立.
(3)
反比例
函数解析式
的确定：反比例函数的解析式y=
(k≠0)中只有一个待定系数k，因而只要有一组x、y的对应值或函数图象上一点的坐标，代入函数解析式求得k的值，就可得到反比例函数解析式.
5．反比例函数解析式的确定
在反比例函数y=
(k≠0)定义中，只有一个常数，所以求反比例函数的解析式只需确定一个待定系数k，反比例函数即可确定.
所以只要将图象上一点的坐标代入y=
中即可求出
k值
.
