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android 怎么判断点在某个三角形中

发布网友 发布时间:2022-04-23 20:27

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热心网友 时间:2023-08-03 13:19

  一 内角和法

  连接点P和三角形的三个顶点得到三条线段PA,PB和PC,求出这三条线段与三角形各边的夹角,如果所有夹角之和为180度,那么点P在三角形内,否则不在,此法直观,但效率低下。

  二 同向法

  假设点P位于三角形内,会有这样一个规律,当我们沿着ABCA的方向在三条边上行走时,你会发现点P始终位于边AB,BC和CA的右侧。我们就利用这一点,但是如何判断一个点在线段的左侧还是右侧呢?我们可以从另一个角度来思考,当选定线段AB时,点C位于AB的右侧,同理选定BC时,点A位于BC的右侧,最后选定CA时,点B位于CA的右侧,所以当选择某一条边时,我们只需验证点P与该边所对的点在同一侧即可。问题又来了,如何判断两个点在某条线段的同一侧呢?可以通过叉积来实现,连接PA,将PA和AB做叉积,再将CA和AB做叉积,如果两个叉积的结果方向一致,那么两个点在同一测。判断两个向量的是否同向可以用点积实现,如果点积大于0,则两向量夹角是锐角,否则是钝角。

  
  三 重心法

  上面这个方法简单易懂,速度也快,下面这个方法速度更快,只是稍微多了一点数学而已

  三角形的三个点在同一个平面上,如果选中其中一个点,其他两个点不过是相对该点的位移而已,比如选择点A作为起点,那么点B相当于在AB方向移动一段距离得到,而点C相当于在AC方向移动一段距离得到。

  所以对于平面内任意一点,都可以由如下方程来表示

  P = A + u * (C – A) + v * (B - A) // 方程1

  如果系数u或v为负值,那么相当于朝相反的方向移动,即BA或CA方向。那么如果想让P位于三角形ABC内部,u和v必须满足什么条件呢?有如下三个条件

  u >= 0

  v >= 0

  u + v <= 1

  几个边界情况,当u = 0且v = 0时,就是点A,当u = 0,v = 1时,就是点B,而当u = 1, v = 0时,就是点C

  整理方程1得到P – A = u(C - A) + v(B - A)

  令v0 = C – A, v1 = B – A, v2 = P – A,则v2 = u * v0 + v *
v1,现在是一个方程,两个未知数,无法解出u和v,将等式两边分别点乘v0和v1的到两个等式

  (v2) • v0 = (u * v0 + v * v1) • v0

  (v2) • v1 = (u * v0 + v * v1) • v1

  注意到这里u和v是数,而v0,v1和v2是向量,所以可以将点积展开得到下面的式子。

  v2 • v0 = u * (v0 • v0) + v * (v1 • v0) // 式1

  v2 • v1 = u * (v0 • v1) + v * (v1• v1) // 式2

  解这个方程得到

  u = ((v1•v1)(v2•v0)-(v1•v0)(v2•v1)) / ((v0•v0)(v1•v1) - (v0•v1)(v1•v0))

  v = ((v0•v0)(v2•v1)-(v0•v1)(v2•v0)) / ((v0•v0)(v1•v1) - (v0•v1)(v1•v0))
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