二次函数 从哪开始入手解 更方便？？
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发布时间：2022-04-22 18:10
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时间：2023-11-15 01:51
归纳一下二次函数问题，1）含有参数的二次函数问题，一般用到分类讨论，2）动轴定区间问题，3）定轴动区间问题，4）定区间求最值，5）解不等式，6）根与系数的关系问题。
这六个问题，你可要分别掌握清楚，他们的共同点是分类讨论，但是讨论的方法不一样。一般出题不会超出这几个范围。所以一定要理解里面用到的方法就行了。下面详细讲一下几种问题的解法：
1）含有参数的二次函数问题：这是指形如y=ax^2+bx+c，三个系数中有一个或两个不定。如y=x^2-2 (m-1)x+m^2-2m-3，还有一种是y=mx^2-2 (m-1)x+m^2-2m-3，第一种是首项确定，第二种是首项含有参数的二次函数。遇到第二种情况就要分类讨论，一般分为首项为0，大于0和小于0三种情况讨论。
2）动轴定区间问题：函数y=ax^2+bx+c中，因为二次项和一次项中，其中一个含有函数或者两个都含有参数，导致二次函数的对称轴x=-b/2a不确定，即随参数取值的不同而不同，但是题目中给出了一个确定的区间。例如：x∈[0,1]，函数y=-x^2+4mx+6的最值，这道题就是典型的动轴定区间求最值问题，那么我们一般分为对称轴在抛物线的左边、右边、和中间，三种情况讨论。这是什么原因呢？是因为二次函数在对称轴左右两边的单调性不同，那么取最值得情况也会不同，所以就要分三类。
3）定轴动区间问题：函数y=ax^2+bx+c中，参数只出现在c中，那么函数的对称轴就确定了，题目却给出一个不确定的区间。
例如：是否存在实数m，使得函数y=-x^2+4x+m-6在x∈[m,m+1]中有解。这个问题是典型的动轴定区间问题，那么我们就分区间在对称轴的左边、右边和中间来讨论，分这三类的道理和问题2）是一样的。
4）定区间求最值：在确定的区间内求确定的或者是不确定的二次函数的最值。例如：x∈[0,1]，函数y=-x^2+4x+6的最值。最值得求法的步骤：第一步，首先判断函数在这个区间上的单调性，原因是：增函数的最大值在区间中x取最大时取得，最小值在x取最小时取得；减函数的最大值在区间中x取最小时取得，最小值在区间中x取最大时取得；函数在区间上先增后减，那么最大值在函数的顶点处取得，最小值就要比较区间的端点处函数值的大小了；函数在区间上先减后增，那么最小值在函数的顶点处取得，最大值就要比较区间的端点处函数值的大小了。
5）解不等式：解不等式的问题在考试中不会单独出现，一般会结合上面的几种情况一起出题，在这里就不详细讲解了。
6）根与系数的关系问题：这个问题很经典，用到方法很巧妙。例题：否存在实数m，使得函数y=-x^2+4x+m-6与x轴的两个交点x1,x2，满足-1<x1<0<x2<1。或者是：否存在实数m，使得函数y=-x^2+4x+m-6与x轴的两个交点x1,x2，满足0<x1+x2<4，-4<x1*x2<0。解这种类型的题目，一定要结合图像，列出不等式，最后还要考虑判别式的问题。
总之，二次函数的问题千变万化，但是它始终逃不脱上面所用的数学思想，善于总结，将上面的问题吃透，弄明白，最后活学活用才能解决任何二次函数的变中题目。
