在堆排序的过程中为什么要从n/2到1的顺序进行建堆过程而不是反过来

发布网友 发布时间：2022-04-22 18:09

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热心网友 时间：2023-11-14 22:54

【概念】堆排序(Heapsort)是指利用堆积树（堆）这种数据结构所设计的一种排序算法，它是选择排序的一种。可以利用数组的特点快速定位指定索引的元素。堆分为大根堆和小根堆，是完全二叉树。大根堆的要求是每个节点的值都不大于其父节点的值，即A[PARENT[i]] >= A[i]。在数组的非降序排序中，需要使用的就是大根堆，因为根据大根堆的要求可知，最大的值一定在堆顶。
【起源】
1991年的计算机先驱奖获得者、斯坦福大学计算机科学系教授罗伯特·弗洛伊德(Robert W．Floyd）和威廉姆斯(J．Williams）在1964年共同发明了著名的堆排序算法（ Heap Sort )。
【简介】
堆排序利用了大根堆（或小根堆）堆顶记录的关键字最大（或最小）这一特征，使得在当前无序区中选取最大（或最小）关键字的记录变得简单。
（1）用大根堆排序的基本思想
① 先将初始文件R[1..n]建成一个大根堆，此堆为初始的无序区
② 再将关键字最大的记录R[1]（即堆顶）和无序区的最后一个记录R[n]交换，由此得到新的无序区R[1..n-1]和有序区R[n]，且满足R[1..n-1].keys≤R[n].key
③由于交换后新的根R[1]可能违反堆性质，故应将当前无序区R[1..n-1]调整为堆。然后再次将R[1..n-1]中关键字最大的记录R[1]和该区间的最后一个记录R[n-1]交换，由此得到新的无序区R[1..n-2]和有序区R[n-1..n]，且仍满足关系R[1..n-2].keys≤R[n-1..n].keys，同样要将R[1..n-2]调整为堆。
……
直到无序区只有一个元素为止。
（2）大根堆排序算法的基本操作：
①建堆，建堆是不断调整堆的过程，从len/2处开始调整，一直到第一个节点，此处len是堆中元素的个数。建堆的过程是线性的过程，从len/2到0处一直调用调整堆的过程，相当于o(h1)+o(h2)…+o(hlen/2) 其中h表示节点的深度，len/2表示节点的个数，这是一个求和的过程，结果是线性的O(n)。
②调整堆：调整堆在构建堆的过程中会用到，而且在堆排序过程中也会用到。利用的思想是比较节点i和它的孩子节点left(i),right(i)，选出三者最大(或者最小)者，如果最大（小）值不是节点i而是它的一个孩子节点，那边交互节点i和该节点，然后再调用调整堆过程，这是一个递归的过程。调整堆的过程时间复杂度与堆的深度有关系，是lgn的操作，因为是沿着深度方向进行调整的。
③堆排序：堆排序是利用上面的两个过程来进行的。首先是根据元素构建堆。然后将堆的根节点取出(一般是与最后一个节点进行交换)，将前面len-1个节点继续进行堆调整的过程，然后再将根节点取出，这样一直到所有节点都取出。堆排序过程的时间复杂度是O(nlgn)。因为建堆的时间复杂度是O(n)（调用一次）；调整堆的时间复杂度是lgn，调用了n-1次，所以堆排序的时间复杂度是O(nlgn)[2]
注意：
①只需做n-1趟排序，选出较大的n-1个关键字即可以使得文件递增有序。
②用小根堆排序与利用大根堆类似，只不过其排序结果是递减有序的。堆排序和直接选择排序相反：在任何时刻堆排序中无序区总是在有序区之前，且有序区是在原向量的尾部由后往前逐步扩大至整个向量为止
【特点】
堆排序（HeapSort）是一树形选择排序。堆排序的特点是：在排序过程中，将R[l..n]看成是一棵完全二叉树的顺序存储结构，利用完全二叉树中双亲结点和孩子结点之间的内在关系（参见二叉树的顺序存储结构），在当前无序区中选择关键字最大（或最小）的记录
【算法分析】
堆排序的时间，主要由建立初始堆和反复重建堆这两部分的时间开销构成，它们均是通过调用Heapify实现的。
平均性能：O(N*logN)。
其他性能：由于建初始堆所需的比较次数较多，所以堆排序不适宜于记录数较少的文件。堆排序是就地排序，辅助空间为O(1）。它是不稳定的排序方法。（排序的稳定性是指如果在排序的序列中，存在前后相同的两个元素的话，排序前 和排序后他们的相对位置不发生变化）。

热心网友 时间：2023-11-14 22:54

建堆是为了，确保根节点最大或者最小（按你的需求），并且要确保所有有孩子的节点都比孩子大或者小（按你的需求）

n/2：表示有n/2或者n/2+1个节点，并且这些节点有孩子，完全二叉树有这个规律。
逆序是因为要确保所有的孩子与父节点都进行了比较，不然顺序的话，你怎么确保根节点满足需求呢？他的孩子还在变化。
最后，你的提问有点错误：(n/2, 0]或者[n/2, 0]取决于是否是整除

热心网友 时间：2023-11-14 22:55

首先堆排序针对的是一个丝毫不满足最大堆特点的一个数组(0号位置不放元素)，首先要从后向前调整每一个非叶子结点开始（也就是倒数第二层），这个是用来建立堆的（就是让误规律的变成有一定规律的），若你从前向后就会忽略另一条大分支树，一条道走到黑了，不能正确建立堆；后面可以从前往后调整的原因是只有最顶上的那个被换了，其他分支都是满足最大堆的
void heap_sort(int *list, int n) {
int temp;
for (int i = n / 2; i > 0; i--) //不要从i=1到i<=n/2这样循环(这一步是把一个无序数组从后向前建立成一个堆)
heap_adjust(list, i, n);
for (int j = n-1; j > 0; j--) {
SWAP(list[1], list[j+1], temp);
heap_adjust(list, 1, j); //这块可以从前向后的原因是只有堆顶不满足最大堆性质
}
}

热心网友 时间：2023-11-14 22:55

参考这个，只不过是数学上处理的小技巧。网页链接。

我明明答的是这个过程O（N）复杂度的证明，怎么会跳来这个问题了。

热心网友 时间：2023-11-14 22:56

首先说下，堆排序建堆的过程可以有两种方法。下沉法和上浮法；从[n, 1]需要使用swim上浮的方法，如果是[n/2,1]需要用sink下沉的方法；从n/2开始，使用下沉的方法，当第n/2个位置确定的时候，两个子节点n和n+1的位置也就确定了，所以只需要比较数组一半的元素；如果采用swim的方法，则需要全部遍历数组；
比较来说，当然是选用sink作为排序方法。建议可以参考sedgewick 《算法》中第二章排序中优先队列的内容。