一元函数和二元函数,可微和可导有什么区别?

发布网友发布时间：2022-04-22 18:31

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懂视网时间：2023-01-22 15:24

1、一元微积分里可微和可导是两个等价的概念，函数在某一点可微就是指在该点的导数存在。但是可积是指函数在某个区间上的定积分（和式极限）存在，而不是指其原函数是初等函数。连续函数都是有原函数的，但不一定是初等函数（可以是变上限积分函数），可积（和式极限存在）的函数的原函数可以不是初等函数，例如e^(-x^2)在R上是可积的，但是其原函数不是初等函数。

2、多元微积分中可导这个概念是不清楚的，因为多元函数求导要区分沿什么方向，而多元函数可微是有明确定义的，而且函数可微和其偏导数有紧密联系，可积的情况和一元函数类似，指在某区域上的和式极限存在，同样和被积函数的原函数是否有初等表达式无关。

热心网友时间：2023-09-22 03:55

一、关系不同：

一元函数中可导与可微等价，它们与可积无关。多元函数可微必可导，而反之不成立。即：在一元函数里，可导是可微的充分必要条件；在多元函数里，可导是可微的必要条件，可微是可导的充分条件。

二、含义不同：

可微：设函数y= f(x)，若自变量在点x的改变量Δx与函数相应的改变量Δy有关系Δy=A×Δx+ο(Δx)，其中A与Δx无关，则称函数f(x)在点x可微，并称AΔx为函数f(x)在点x的微分，记作dy，即dy=A×Δx，当x= x0时，则记作dy∣x=x0。

可导：即设y=f(x)是一个单变量函数，如果y在x=x0处左右导数分别存在且相等,则称y在x=x[0]处可导。如果一个函数在x0处可导，那么它一定在x0处是连续函数。

可微条件

必要条件

若函数在某点可微分，则函数在该点必连续；

若二元函数在某点可微分，则该函数在该点对x和y的偏导数必存在。

充分条件

若函数对x和y的偏导数在这点的某一邻域内都存在，且均在这点连续，则该函数在这点可微。