计算机中乘法算法如何设计?

发布网友 发布时间：2022-07-20 05:37

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热心网友 时间：2023-11-10 22:08

1、无符号乘法。

无符号的乘法与加法类似，它的运算方式是比较简单的，只是也可能产生溢出。对于两个w位的无符号数来说，它们的乘积范围在0到(2w-1)2之间，因此可能需要2w位二进制才能表示。

因此由于位数的*，假设两个w位的无符号数的真实乘积为pro，根据截断的规则，则实际得到的乘积为 pro mod 2w。

2、补码乘法。

与加法运算类似，补码乘法也是建立在无符号的基础之上的，因此我们可以很容易的得到，对于两个w位的补码数来说，假设它们的真实乘积为pro，

则实际得到的乘积为：

U2Tw(pro mod 2w。

上面的式子有一个假设，就是假设对于w位的两个补码数来说，它们的乘积的低w位与无符号数乘积的低w位是一样的。这意味着计算机可以使用一个指令执行无符号和补码的乘法运算。

3、乘法运算的优化。

根据小学所学的乘法运算，假设两个w位的二进制数相乘，则需要进行w次与运算，然后进行w - 1次加法运算才能得到结果。

从此不难看出，乘法运算的时间周期是很长的。因此计算机界的高手们想出了一种方式可以优化乘法运算的效率，就是使用移位和加法来替代乘法。

上述优化的前提是对于一个w位的二进制数来说，它与2k的乘积，等同于这个二进制数左移k位，在低位补k个0。在书中对这一等式进行了证明，过程如下。

这个过程主要应用了无符号编码的公式。

有了上面的基础，就可以使用移位和加法对乘法优化了。

对于任意一个整数y，它总能使用二进制序列表示（假设不超过二进制的表示范围），因此可以将x和y乘积的二进制序列表示为如下形式（此公式在书中没有展现）。

x * y = x * (yw-12w-1 + ... + y020) =  (x << w-1) * yw-1 +....+ (x << 0 ) * y0。

举个例子，对于x * 17，可以计算x * 16 + x = (x << 4) + x ，这样算下来的话，只需要一次移位一次加法就可以搞定这个乘法运算。

而对于x * 14，则可以计算 x * 8 + x * 4 + x * 2 = (x << 3) + (x << 2) + (x << 1) ，更快的方式可以这么计算，x * 16 - x * 2 = (x << 4) - (x << 1) 。

这里最后需要提一下的是，加法、减法和移位的速度并不会总快于乘法运算，因此是否要进行上面的优化就取决于二者的速度了。

4、二进制乘法的运算步骤。

二进制数乘法过程可仿照十进制数乘法进行。

但由于二进制数只有0或1两种可能的乘数位，导致二进制乘法更为简单。二进制数乘法的法则为：

1、0×0＝0。

2、0×1＝1×0＝0。

3、1×1＝1。

例如：1001和1010相乘的过程如下：

由低位到高位，用乘数的每一位去乘被乘数，若乘数的某一位为1，则该次部分积为被乘数；若乘数的某一位为0，则该次部分积为0。

某次部分积的最低位必须和本位乘数对齐，所有部分积相加的结果则为相乘得到的乘积。

参考资料来源：百度百科——二进制乘法