高中数学奥赛——排序原理、排序不等式
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发布时间：2022-07-24 03:47
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热心网友
时间：2024-12-05 00:22
则a1b1+a2b2+...+anbn≥a1bj1+a2bj2+...+anbjn≥
a1bn+a2b(n-1)+...+anb1
即同序和≥乱序和≥逆序和
其中j1,j2,...,jn是1，2，...,n的任一排列。当且仅当a1=a2=...=an或b1=b2=...=bn时等号成立。
证明：不妨设在乱序和S中jn≠n时（若jn=n,则考虑jn-1）,且在和S中含有项akbn(k≠n)，则
akbn+anbjn≤akbjn+anbn
事实上，左-右=（an-ak)(bn-bjn)≥0
由此可知，当jn≠n时，调换S=a1bj1+...+akbjk+...+anbjn(jn≠n)中，bn与jn位置，所的新和S1≥S.调整好an及bn后，接着再仿上调整an-1及bn-1，又得S2≥S。如此，至多经过n-1次调整得顺序和
a1b1+a2b2+...+anbn≥a1bj1+a2bj2+...+anbjn
这样就证明了“顺序和不小于乱序和”。显然，当a1=a2=..=an或b1=b2=...=bn时等号成立。
类似可证得“乱序和不小于逆序和”
高中参加奥赛时学到的，希望这个结果你能满意
热心网友
时间：2024-12-05 00:23
设有两组数 a 1 , a 2 ,…… a n, b 1 , b 2 ,…… b n 满足 a 1 ≤ a 2 ≤……≤ a n, b 1 ≤ b 2 ≤……≤ b n 则有 a 1 b n + a 2 b n−1 +……+ a n ≤ a 1 b t + a 2 b t +……+ a n b t ≤ a 1 b 1 + a 2 b 2 + a n b n 式中t1，t2，……，tn是1，2，……，n的任意一个排列， 当且仅当 a 1 = a 2 =……= a n 或 b 1 = b 2 =……= b n 时成立。
即 反序和≤乱序和≤同序和
可以用逐步调整法证明
简写了
另其余不变，将a 1 b 1 + a 2 b 2 调整为a 1 b 2 + a 2 b 1 ，值变小，只需作差证明（a 1 -a 2 ）*（b 1 -b 2 ）≥0，这由题知成立
所以取等条件是a1=a2=……=an b1=b2=……=bn
