梅涅劳斯定理证明

发布网友发布时间：2022-07-29 01:29

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热心网友时间：2023-12-09 17:44

证明一
过点A作AG∥BC交DF的延长线于G，
则AF/FB=AG/BD
,
CE/EA=DC/AG。
三式相乘得:(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=(AG/BD)×(BD/DC)×(DC/AG)=1
证明二
过点C作CP∥DF交AB于P，则BD/DC=FB/PF，CE/EA=PF/AF
所以有AF/FB×BD/DC×CE/EA=AF/FB×FB/PF×PF/AF=1
证明三
连接BF。
(AD:DB)·(BE:EC)·(CF:FA)
=(S△ADF:S△BDF)·(S△BEF:S△CEF)·(S△BCF:S△BAF)
=(S△ADF:S△BDF)·(S△BDF:S△CDF)·(S△CDF:S△ADF)
=1
证明四
过三顶点作直线DEF的垂线，AA‘，BB'，CC'
有AD:DB=AA’:BB'
另外两个类似，
三式相乘得1
得证。如百科名片中图。
充分性证明:
△ABC中，BC，CA，AB上的分点分别为D，E，F。
连接DF交CA于E'，则由充分性可得，(AF/FB)×(BD/DC)×(CE'/E'A)=1
又∵(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1
∴有CE/EA=CE'/E'A，两点重合。所以DEF共线