梅涅劳斯定理详细证明过程
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发布时间：2022-07-29 01:29
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时间：2023-12-09 17:44
简介
梅涅劳斯（Menelaus）定理（简称梅氏定理）是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。它指出：如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1。 或：设X、Y、Z分别在△ABC的BC、CA、AB所在直线上，则X、Y、Z共线的充要条件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=1 证明一： 过点A作AG‖BC交DF的延长线于G, 则AF/FB=AG/BD , BD/DC=BD/DC , CE/EA=DC/AG。 三式相乘得：(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=(AG/BD)×(BD/DC)×(DC/AG)=1 证明二： 过点C作CP‖DF交AB于P，则BD/DC=FB/PF，CE/EA=PF/AF 所以有AF/FB×BD/DC×CE/EA=AF/FB×FB/PF×PF/AF=1 它的逆定理也成立：若有三点F、D、E分别在△ABC的边AB、BC、CA或其延长线上，且满足(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1，则F、D、E三点共线。利用这个逆定理，可以判断三点共线。 梅涅劳斯(Menelaus)定理证明三： 过ABC三点向三边引垂线AA'BB'CC'， 所以AD：DB=AA'：BB'，BE：EC=BB'：CC'，CF：FA=CC'：AA' 所以(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1 证明四： 连接BF。 （AD：DB）·（BE：EC）·（CF:FA) =（S△ADF：S△BDF）·（S△BEF：S△CEF）·（S△BCF：S△BAF） =（S△ADF：S△BDF）·（S△BDF：S△CDF）·（S△CDF：S△ADF） =1 此外，用定比分点定义该定理可使其容易理解和记忆： 在△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上分别取L、M、N三点，又分比是λ=BL/LC、μ=CM/MA、ν=AN/NB。于是L、M、N三点共线的充要条件是λμν=1。 第一角元形式的梅涅劳斯定理如图：若E，F，D三点共线，则 (sin∠ACF/sin∠FCB)(sin∠BAD/sin∠DAC)(sin∠CBA/sin∠ABE)=1 即图中的蓝角正弦值之积等于红角正弦值之积 该形式的梅涅劳斯定理也很实用 第二角元形式的梅涅劳斯定理 在平面上任取一点O，且EDF共线，则（sin∠AOF/sin∠FOB)(sin∠BOD/sin∠DOC)(sin∠COA/sin∠AOE)=1。(O不与点A、B、C重合)
参考资料：http://zhidao.baidu.com/question/154973338.html
梅涅劳斯定理详细证明过程
梅涅劳斯（Menelaus）定理是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。它指出：如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1。证明：过点A作AG‖BC交DF的延长线于G,则AF/FB=AG/BD , BD/DC=BD/DC , CE/EA=DC/AG。三式相乘得：AF/FB×...
梅涅劳斯定理
AF/FB=AG/BD , BD/DC=BD/DC , CE/EA=DC/AG 三式相乘得：AF/FB×BD/DC×CE/EA=AG/BD×BD/DC×DC/AG=1 它的逆定理也成立：若有三点F、D、E分别在的边AB、BC、CA或其延长线上，且满足AF/FB×BD/DC×CE/EA=1，则F、D、E三点共线。利用这个逆定理，可以判断三点共线。另外,有...
梅涅劳斯定理的三种证明方法
（1）其中两个交点在边上，一个交点在边的延长线上，如图1 （2）三个交点均在边的延长线上，如图2 梅涅劳斯定理在处理直线形中线段长度比例的计算时，尤为快捷。值得一提的是，其逆定理也成立，可作为三点共线、三线共点等问题的判定方法。下面给出梅涅劳斯定理的几种精彩证明，证明中仅以图1作为...
梅涅劳斯定理证明
过点A作AG∥BC交DF的延长线于G，则AF/FB=AG/BD ,CE/EA=DC/AG。三式相乘得:(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=(AG/BD)×(BD/DC)×(DC/AG)=1 证明二 过点C作CP∥DF交AB于P，则BD/DC=FB/PF，CE/EA=PF/AF 所以有AF/FB×BD/DC×CE/EA=AF/FB×FB/PF×PF/AF=1 证明三 连接BF。
梅涅劳斯定理是怎么证明的?
证明二 过点C作CP∥DF交AB于P，则BD/DC=FB/PF，CE/EA=PF/AF 所以有AF/FB×BD/DC×CE/EA=AF/FB×FB/PF×PF/AF=1 它的逆定理也成立：若有三点F、D、E分别在△ABC的边AB、BC、CA或其延长线上，且满足(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1，则F、D、E三点共线。利用这个逆定理，...
梅涅劳斯定理定理的证明
梅涅劳斯定理的证明可以通过几个步骤来阐述。首先，当直线AD、BE、CF分别与△ABC的边AB、BC、CA的反向延长线交于点D、E、F时，我们可以得出一个关键比例关系：(AD/DB)*(BE/EC)*(CF/FA)等于1。逆定理的证明则通过构造新的辅助线来实现。例如，过点A作AG与BC平行，交DF的延长线于G，可以得到(...
【初中数竞】梅涅劳斯定理及其逆定理(中档)
公式1 公式2 二、梅涅劳斯逆定理 D,E,F分别为三角形ABC三边及其延长线上的点，当公式3或公式4时，得到：D，E，F三点共线 三、梅涅劳斯定理的证明 如图，连接CF,BD 公式5 所以公式6 即公式7 同理可以证得公式8 四、梅涅劳斯逆定理的证明 当公式9时 假设D，F，E不共线，连接DE与AB交于P，...
梅涅劳斯逆定理怎么证明?
梅涅劳斯逆定理证明方式 已知：X、Z是△ABC的边AB、AC上的点，Y是BC的延长线的点，且有：(AX/XB)(BY/YC)(CZ/ZA)=1。求证：X、Y、Z三点共线。思路：采用反证法。先假设Z、Y、Z三点不共线，直线YZ与AB交于P。再证P与X重合。证明：先假设Z、Y、Z三点不共线，直线YZ与AB交于P。由...
梅涅劳斯定理的定理证明
S△FEA=（S△CDE+S△FEC）：（S△ADE+S△FEA）=S△CDF：S△ADF……… （3）（1）×（2）×（3）得 × × = × × 过三顶点作直线DEF的垂线AA‘，BB'，CC'，如图：充分性证明：△ABC中，BC，CA，AB上的分点分别为D，E，F。连接DF交CA于E'，则由充分性可得，...
求证明梅涅劳斯定理
证明 ：设三角形ABC三边AB、BC、CA上（或延长线上）分别有三点D、E、F若AD/DB*BE/EC*CF/AF=1 下面证明D、E、F共线 延长DE交AC于F'由Menelaus定理有，AD/DB*BE/EC*CF‘/AF’=1 于是CF/AF=CF'/AF'于是F与F'重合 证毕
