一道多元函数高阶导数的证明题,其中Δ是拉普拉斯算子
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发布时间：2022-07-28 23:25
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时间：2023-12-08 20:28
∂u/∂t=(∂u/∂φ)*(dφ/dξ)*(∂ξ/∂t)+(∂u/∂ψ)*(dψ/dη)*(∂η/∂t)
=(1/p)*(dφ/dξ)*(-a)+(1/p)*(dψ/dη)*a
=(a/p)*[(-dφ/dξ)+(dψ/dη)]
=(a/p)*(-φ’+ψ’)
∂²u/∂t²=(a/p)*[(-d²φ/dξ²)*(∂ξ/∂t)+(d²ψ/dη²)*(∂η/∂t)]
=(a²/p)*[(d²φ/dξ²)+(d²ψ/dη²)]
=(a²/p)*(φ’’+ψ’’)
注：(dφ/dξ)与(dψ/dη)分别是ξ与η的函数
由于△u=(∂²u/∂x²)+(∂²u/∂y²)+(∂²u/∂z²)，下面先计算∂²u/∂x²
∂u/∂x=(∂u/∂p)*(∂p/∂x)+(∂u/∂φ)*(dφ/dξ)*(∂ξ/∂p)*(∂p/∂x)+(∂u/∂ψ)*(dψ/dη)*(∂η/∂p)*(∂p/∂x)
=(-1/p²)*(φ+ψ)*(x/p)+(1/p)*(dφ/dξ)*1*(x/p)+(1/p)*(dψ/dη)*1*(x/p)
=(-x/p³)*(φ+ψ)+(x/p²)*[(dφ/dξ)+(dψ/dη)]
=(-x/p³)*(φ+ψ)+(x/p²)*(φ’+ψ’)
∂²u/∂x²=(φ+ψ)*∂(-x/p³)/∂x+(-x/p³)*[(dφ/dξ)*(∂ξ/∂p)*(∂p/∂x)+(dψ/dη)*(∂η/∂p)*(∂p/∂x)]
+[(dφ/dξ)+(dψ/dη)]*∂(x/p²)/∂x+(x/p²)*[(d²φ/dξ²)*(∂ξ/∂p)*(∂p/∂x)+(d²ψ/dη²)*(∂η/∂p)*(∂p/∂x)]
=(φ+ψ)*[(-p³+x*2*p*x/p)/p⁶]+(-x/p³)*[φ’*1*(x/p)+ψ’*1*(x/p)]
+(φ’+ψ’)*[(p²-x*2*p*x/p)/p⁴]+(x/p²)*[φ’’*1*(x/p)+ψ’’*1*(x/p)]
=(φ+ψ)*[(-p²+3*x²)/p⁵]+[(p²-3*x²)/p⁴]*(φ’+ψ’)+(x²/p²)*(1/p)*(φ’’+ψ’’) ①
其中，∂p/∂x=x/√(x²+y²+z²)=x/p
同理可求得
∂²u/∂y²=(φ+ψ)*[(-p²+3*y²)/p⁵]+[(p²-3*y²)/p⁴]*(φ’+ψ’)+(y²/p²)*(1/p)*(φ’’+ψ’’) ②
∂²u/∂z²=(φ+ψ)*[(-p²+3*z²)/p⁵]+[(p²-3*z²)/p⁴]*(φ’+ψ’)+(z²/p²)*(1/p)*(φ’’+ψ’’) ③
由①②③得△u=(1/p)*(φ’’+ψ’’)
故∂²u/∂t²=(a²/p)*(φ’’+ψ’’)=a²*△u
