如图，已知点P是矩形ABCD内一点，PA、PB、PC、PD把矩形分割成四个三角形，小东对该图形进行了研究

发布网友发布时间：2022-07-27 21:20

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热心网友时间：2023-10-30 13:22

解1）（1）∵AD∥BC PE⊥AD
∴PF⊥BC
∴S⊿APD+S⊿BPC=1/2AD*PE+1/2BC*PF
∵AD=BC ,S矩形=AD*EF
∴S⊿APD+S⊿BPC=1/2AD(PE+PF)=1/2AD*EF=1/2S矩形
同理S⊿APB+S⊿CPD=1/2S矩形
∴S⊿APB+S⊿CPD=S⊿APD+S⊿BPC
(2)易证明，四边形AEFB、EFCD是矩形∴AE=BF、DE=CF
根据勾股定理，PA²+PC²=CE²+PE²+CE²+PF²=BE²+PE²+PF²+DE²=(BE²+PF²)+(PE²+DE²)=PB²+PD²
2)(1)不成立，猜想：矩形的边所在直线将平面分成8个区域，当P在对角区域，则|S⊿APB-S⊿CPD|=|S⊿APD-S⊿BPC|；当P在AD、BC边区域，则|S⊿APD-S⊿BPC|=S⊿APB+S⊿CPD；
当P在边AB、CD区域，则|S⊿APB-S⊿CPD|=S⊿APD+S⊿BPC。
（2）成立。易证明，四边形AEFB、EFCD是矩形∴AE=BF、DE=CF
根据勾股定理，PA²+PC²=CE²+PE²+CE²+PF²=BE²+PE²+PF²+DE²=(BE²+PF²)+(PE²+DE²)=PB²+PD²