四边形ABCD是矩形，点P是矩形内的任意一点。求证PA²加PC²等于PB²加PD²
发布网友
发布时间：2022-07-27 21:20
共2个回答
热心网友
时间：2023-10-30 13:22
过P点作BC的平行线EF，分别交AB,CD于点E、F，则EF垂直AB，EF⊥CD
图中，它们各自被一条对角线分成两个直角三角形。据勾股定理有
PA²=PE²+AE²；PC²=PF²+FC²；
PB²==PE²+EB²；PD²=PF²+DF²。
∴PA²-PB²=AE²-EB,
PC²-PD²=FC²-DF²
∴PA²-PB²+PC²-PD²=AE²-EB²+FC²-DF²
∵AE=DF,EB=FC
∴PA²-PB²+PC²-PD²=0
即PA²+PC²=PB²+PD²
望采纳~
热心网友
时间：2023-10-30 13:23
作MN⊥AB，交AB于M，交CD于N，
则四边形AEPM、四边形DEPF，四边形BMPN、四边形CFPN都是矩形，
∴AM=DF，AE=BN，DE=CN，DE=CF，
根据勾股定理得：
PA^2+PC^2=AM^2+AE^2+CN^2+CF^2，
PB^2+PD^2=BM^2+BN^2+DF^2+DE^2，
∴PA^2+PC^2=PB^2+PD^2。
