定积分求数列极限题目。答案看不懂，求解释。在线等。

发布网友 发布时间：2022-04-22 14:21

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热心网友 时间：2023-07-01 09:28

希望能够给予帮助

热心网友 时间：2023-07-01 09:28

解：对于f(x)=sinx/x^3, f(-x)=sin(-x)/(-x)^3=sinx/x^3=f(x); ∫f(x)dx 的原函数为奇函数。
(xsinx/x^3)'=(sinx/x^2)'=cosx/x^2-2sinx/x^3; 得:sinx/x^3=(1/2)[cosx/x^2-(sinx/x^2)']
(xcosx/x^2)'=(cosx/x)'=-sinx/x-cosx/x^2, 得：cosx/x^2=-[sinx/x+(cosx/x)']
原式=lim(x→0) (1/2) ∫(-x,x)(sinx/x^3)dx/arccotx
=lim(x→0) (1/4)[∫(-x,x)(cosx/x^2)dx-2sinx/x^2]/arccotx
=lim(x→0) (-1/4)[∫(-x,x)(sinx/x)dx+2cosx/x^2+2sinx/x^2]/arccotx
=lim(x→0) (-1/2)(x+cosx/x+sinx/x^2]/arccotx=-∞
如果不甘心，还可以继续往下做，但是，答案会是一样的。
=lim(x→0) (-1/2)(x^3+xcosx+x]/(x^2arccotx)(到此可以利用洛必达法则，分子分母同时求导）
=lim(x→0) (-1/2)(3x^2+cosx-xsinx+1]/[2xarccotx-x^2/(1+x^2)]
=lim(x→0) (-1/2)(2x^2+cosx+1)(1+x^2)/[2x(1+x^2)arccotx-x^2]
=lim(x→0) (-1/2)[2x^2+2)(1+x^2)/[2x(1+x^2)arccotx-x^2]
=lim(x→0) -(1+x^2)^2/{2x[(1+x^2)arccotx-x]}(分子为-1，分母为0
=-∞

热心网友 时间：2023-07-01 09:29

如图

追问这个不是0/0型吧？怎么直接用洛必达法则了呢？

热心网友 时间：2023-07-01 09:29

三。1.解：∵lim<x->0>[∫<0,x>(sinx/x³)dx]=0
lim<x->0>[arccotx]=π/2
∴lim<x->0>{[∫<0,x>(sinx/x³)dx]/[arccotx]}={lim<x->0>[∫<0,x>(sinx/x³)dx]}/{lim<x->0>[arccotx]}
=0/(π/2)=0。追问嗯我也是这么想的，可答案是1。。。

追答你看看你的题目是否有错

热心网友 时间：2023-07-01 09:30

分母的极限为 π/2；
分母为一带瑕点x=0的积分，并未得到良好的定义，最终结果是∞-∞的不定式。
你可以将积分内的函数换成同阶的 1/x^2 尝试下看能不能做出结果。
（目测得不到好的结果）