公理的公理化

发布网友发布时间：2022-06-08 04:11

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概括地说，几何学的公理化方法是从少数初始概念和公理出发，遵遁逻辑原则建立几何学演绎体系的方法。用公理化方法建立的数学学科体系一般是由以下四个部分组成：
①初始概念的列举。
②定义的叙述。
③公理的列举。
④定理叙述和证明。
这四个组成部分不是独立地叙述和展开，而是相互交织、相互渗透、相互依赖地按照逻辑原则演绎。一般说来，用公理化方法建立的几何学演绎体系总是由抽象内容和逻辑结构构成的统一体。决定几何体系的基础是初始概念和公理，不同的公理基础决定不同的几何体系，例如欧氏几何、罗氏几何、黎曼几何、拓扑学等。
几何体系的逻辑结构，主要取决于公理提出的先后次序，同一种几何体系由于公理系统的编排次序不同，可以产生不同的逻辑结构．例如，中学几何中的“外角定理”和三角形全等（合同）的“角角边定理”是在平行公理之后提出的，因此可根据平行公理的推论“三角形内角和等于二直角”很容易给予证明。但在希尔伯特所建立的欧氏几何的体系中，由于这两个定理是在平行公理之前提出的，就不允许使用“三角形内角和”定理。即同一欧氏几何可有多种逻辑结构，一个几何命题的证法不是通用的，它在一种逻辑结构中适用，而在另一种逻辑结构中可能不适用。