高二数学:已知正三棱锥S-ABC,SA=2倍根号3

发布网友发布时间：2022-06-03 01:33

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热心网友时间：2023-10-09 15:39

已知正三棱锥S-ABC中，SA=2倍根号三，那么当棱锥体积最大是，它的底面边长是()
(1)1
(2)根号6
(3)2
(4)2倍根号6
解:设正三棱锥S-ABC的高为H，底面积为S，则其体积V=(1/3)SH.
底面是正三角形，设其边长为a，则其面积S=(1/2)a²sin60°=[(√3)/4]a²
设正三角形底面ABC的重心为G，那么SG=H=√(SA²-AG²)，其中SA=2√3，
AG=(2/3)asin60°=[(√3)/3]a，故H=√[12-(a²/3)]=[√(36-a²)]/√3
∴V=(1/3)[(√3)/4]a²[√(36-a²)]/√3=(1/12)a²√(36-a²)
令dv/da=(1/12)[2a√(36-a²)+(a²)(-2a/2√(36-a²)]=(1/12)[2a√(36-a²)-a³/√(36-a²)]=0
得2a(36-a²)-a³=72a-3a³=3a(24-a²)=0，故得a=√24=2√6.
即当a=2√6时正三棱锥S-ABC的体积最大，故应选(4).