麻烦请问下：已知3阶矩阵A的第一行是（a,b,c）,a,b,c不全为0,矩阵B也是3阶矩阵 B第一

发布网友 发布时间：2022-06-07 15:08

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热心网友 时间：2023-10-19 14:37

题目给的条件已经够了…因为A非0，且A显然不可逆（否则对AB=0左乘A^（-1）可得B=0矛盾），所以r（A）只可能等于1或2
（1）若r（A）=1，则A经初等行变换可化为：
a b c
0 0 0
0 0 0
所以ax1+bx2+cx3=0
不妨设a不等于0（其他情况类似），则x1=-b/ax2-c/ax3，从而AX=0通解为：
k1（-b，a，0）^T+k2（-c，0，a）^T
（2）若r（A）=2，则AX=0的解空间维数=3-r（A）=1，而B的列向量必为AX=0的解，所以r（B）<=1，从而k必为9且B的任意一个非零列向量均可作为基础解系，所以AX=0的通解为：k1（1，2，3）^T

热心网友 时间：2023-10-19 14:38

由AB=O知，B的每一列均为Ax=0的解，且r（A）+r（B）≤3．
（1）若k≠9，
则r（B）=2，于是r（A）≤1，显然r（A）≥1，故：r（A）=1．
此时Ax=0的基础解系所含解向量的个数为：3-r（A）=2，
矩阵B的第一、第三列线性无关，可作为其基础解系，
故Ax=0 的通解为：
x＝k1123+k236k，其中k1，k2为任意常数．
（2）若k=9，
则r（B）=1，从而：1≤r（A）≤2，
1）若r（A）=2，
则Ax=0的通解为：x=k1123，其中k1，k2为任意常数．
2）若r（A）=1，
则Ax=0 的同解方程组为：ax1+bx2+cx3=0，
由于a，b，c不全为零，故不妨设a≠0，
则其通解为：x＝k1?ba10

热心网友 时间：2023-10-19 14:38

解: 因为A的第一行非零, 所以 r(A)>=1
因为AB=0, 所以 r(A)+r(B)<=3, 且B的列向量都是Ax=0的解.
若k≠9, 则r(B)=2, 故 r(A)<=1
所以 r(A)=1. Ax=0 的基础解系含 3-1=2个解向量
所以 Ax=0 的通解为 c1(1,2,3)^T+c2(3,6,k)^T.
若k=9 (麻烦了)
r(B)=1, 所以 1<=r(A)<=2.
(1) r(A)=2 时, Ax=0 的基础解系含 3-2=1个解向量
Ax=0 的通解为 c(1,2,3)^T
(2) r(A)=1 时, Ax=0 的基础解系含 3-1=2个解向量
由于r(A)=1, 所以A经过初等行变换化为
a b c
0 0 0
0 0 0
同解方程组为 ax1+bx2+cx3=0
需分别讨论a,b,c不等于0的情况.

热心网友 时间：2023-10-19 14:39

这个还要知道A其它行的信息，或者如果A的秩是二。 如果A的秩是二，那么k=9。通解的基就是1 2 3.