矩阵特征值与矩阵可逆性的关系
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发布时间：2022-05-31 05:45
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热心网友
时间：2023-10-09 16:15
因为矩阵的行列式等于所有特征值的乘积，而矩阵可逆的充要条件是行列式不等于0，所以矩阵可逆的充要条件是所有特征值都不等于0。
设 A 是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向量 x，使得 Ax=mx 成立，则称 m 是矩阵A的一个特征值（characteristic value)或本征值（eigenvalue)。
设A是n阶方阵，如果数λ和n维非零列向量x使关系式Ax=λx成立，那么这样的数λ称为矩阵A特征值，非零向量x称为A的对应于特征值λ的特征向量。式Ax=λx也可写成( A-λE)X=0。这是n个未知数n个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是系数行列式| A-λE|=0。
扩展资料
矩阵可逆的充分必要条件：
AB=E；
A为满秩矩阵（即r(A)=n）；
A的特征值全不为0；
A的行列式|A|≠0，也可表述为A不是奇异矩阵（即行列式为0的矩阵）；
A等价于n阶单位矩阵；
A可表示成初等矩阵的乘积；
齐次线性方程组AX=0 仅有零解；
非齐次线性方程组AX=b 有唯一解；
A的行（列）向量组线性无关；
任一n维向量可由A的行（列）向量组线性表示。
其实以上条件全部是等价的。
参考资料来源：百度百科-矩阵特征值
参考资料来源：百度百科-矩阵可逆
热心网友
时间：2023-10-09 16:16
因为矩阵的行列式等于所有特征值的乘积，而矩阵可逆的充要条件是行列式不等于0，所以矩阵可逆的充要条件是所有特征值都不等于0。
可逆矩阵的特征值一定不为0
证明：(反证法)
设A可逆，λ=0是A的特征值，x是对应的特征向量
则Ax=0x=O
根据克拉默法则，Ax=0只有零解，而x≠O，因此矛盾
即A的特征值不为0
扩展资料
基本性质
1.对于任何方形矩阵X，X+XT是对称矩阵。
2.A为方形矩阵是A为对称矩阵的必要条件。
3.对角矩阵都是对称矩阵。
4.两个对称矩阵的积是对称矩阵，当且仅当两者的乘法可交换。两个实对称矩阵乘法可交换当且仅当两者的特征空间相同。
热心网友
时间：2023-10-09 16:16
