.设A为n阶方阵,且满足AA^T =E和|A|=-1,证明行列式|E+A|=0.

发布网友 发布时间：2022-05-30 00:15

我来回答

共4个回答

热心网友 时间：2024-10-09 22:37

证明：

|A-E|

= |A-AA^T|

= |A(E-A^T)|

= |A||E-A^T|

= |A||E-A| - (E-A^T)^T = E-A

= |A| (-1)^(2n+1) |A-E|

= -|A||A-E|

所以｜A-E|(1+|A|)=0

因为｜A|>0

所以，可得1+|A|≠0

所以，可得｜A-E| = 0。

性质：

1、若A中至少有一个r阶子式不等于零，且在r<min(m,n)时，A中所有的r+1阶子式全为零，则A的秩为r。

2、初等变换不改变矩阵的秩。

3、如果A可逆，则r(AB)=r(B),r(BA)=r(B)。

4、矩阵的行秩，列秩，秩都相等。

5、矩阵的秩加上矩阵的零化度等于矩阵的纵列数。

热心网友 时间：2024-10-09 22:37

A| |E+A'|= |A| |(E+A)'|= |A| |E+A|这是固定的算法。

|A-E|= |A-AA^T|= |A(E-A^T)|= |A||E-A^T|= |A||E-A| --- (E-A^T)^T = E-A= |A| (-1)^(2n+1) |A-E|= -|A||A-E|。

所以 |A-E|(1+|A|)=0，因为 |A|>0，所以 1+|A|≠0，所以 |A-E| = 0。

n阶行列式介绍：

n阶行列式等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积的代数和，逆序数为偶数时带正号，逆序数为奇数时带负号，共有n!项。

按照一定的规则，由排成正方形的一组(n个)数(称为元素)之乘积形成的代数和，称为n阶行列式。

热心网友 时间：2024-10-09 22:38

第一个等式是因为(E+A')=E'+A'=(E+A)'

第二个等式是因为一个矩阵的行列式与它的转置的行列式相等。

|A显然是正交矩阵，因此特征值只能有1或-1

又因为|A|=-1，因此特征值肯定有-1（否则的话，所有特征值都是1，其乘积也即行列式|A|=1，而不是-1）

从而A+E必有特征值-1+1=0

则|A+E|=0

扩展资料：

①行列式A中某行(或列)用同一数k乘,其结果等于kA。

②行列式A等于其转置行列式AT(AT的第i行为A的第i列)。

③若n阶行列式|αij|中某行(或列);行列式则|αij|是两个行列式的和，这两个行列式的第i行(或列),一个是b1,b2,…,bn；另一个是с1，с2,…,сn；其余各行（或列）上的元与|αij|的完全一样。

参考资料来源：百度百科-行列式

热心网友 时间：2024-10-09 22:38