线性代数,为什么说“当齐次方程组有非零解的时候,有无穷多个解”?

发布网友 发布时间：2022-06-01 16:58

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热心网友 时间：2023-10-09 06:10

齐次方程组的解，有2种情况：

1、有唯一解，且是零解；

2、有无穷多组解；（其中有一解是零解，其余是非零解）

因此当齐次方程组有非零解的时候，有无穷多个解，是正确的。

如果m<n(行数小于列数，即未知数的数量大于所给方程组数），则齐次线性方程组有非零解，否则为全零解。

扩展资料：

设其系数矩阵为A，未知项为X，则其矩阵形式为AX=0。若设其系数矩阵经过初等行变换所化到的行阶梯形矩阵的非零行行数为r，则它的方程组的解只有以下两种类型：

1、当r=n时，原方程组仅有零解；

2、当r<n时，有无穷多个解（从而有非零解）。

对齐次线性方程组的系数矩阵施行初等行变换化为阶梯型矩阵后，不全为零的行数r（即矩阵的秩）小于等于m（矩阵的行数），若m<n，则一定n>r,则其对应的阶梯型n-r个自由变元，这个n-r个自由变元可取任意取值，从而原方程组有非零解（无穷多个解）。

求解步骤：

1、对系数矩阵A进行初等行变换，将其化为行阶梯形矩阵；

2、若r(A)=r=n（未知量的个数），则原方程组仅有零解，即x=0，求解结束；

若r(A)=r<n（未知量的个数），则原方程组有非零解，进行以下步骤：

3、继续将系数矩阵A化为行最简形矩阵，并写出同解方程组；

4、选取合适的自由未知量，并取相应的基本向量组，代入同解方程组，得到原方程组的基础解系，进而写出通解。

热心网友 时间：2023-10-09 06:11

1、当齐次线性方程组的系数矩阵秩r(A)=n，方程组有唯一解，且因为齐次线性方程组常数项全为0，所以唯一解即是零解。

2、当齐次线性方程组的系数矩阵秩r(A)<n，方程组有无数多解，从而有非零解。

故当齐次方程组有非零解的时候，就有无穷多个解。

齐次线性方程组解的性质：

1、若x是齐次线性方程组AX=0的一个解，则kx也是它的解，其中k是任意常数。

2、 若x，y是齐次线性方程组AX=0的两个解，则x+y也是它的解。

3、 对齐次线性方程组AX=0，若r(A)=r<n，则AX=0存在基础解系，且基础解系所含向量的个数为n-r，即其解空间的维数为n-r。

扩展资料：

齐次线性方程组的判定定理：

1、齐次线性方程组AX=0有非零解的充要条件是r(A)<n。即系数矩阵A的秩小于未知量的个数。

2、齐次线性方程组AX=0仅有零解的充要条件是r(A)=n。

参考资料来源：百度百科-齐次方程组

热心网友 时间：2023-10-09 06:11

热心网友 时间：2023-10-09 06:12