格拉斯曼的线性扩张论
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发布时间：2022-06-02 18:34
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时间：2024-01-07 22:24
格拉斯曼的数学成就远远走在他那个时代的前面．他是一位自学成材的数学家，1832年就开始了一种新的几何演算法的研究．他意识到自己工作的深远意义，到1840年已把全部精力集中到数学方面的研究．1843年秋，他完成了名著《线性扩张论》（Die lineare Ausaenuangslehre）的第1卷，于1844年发表．可惜的是它的基本意义没有被当时人们所领会，因为其内容实在比当时的数学水平深得多，而且叙述抽象，在文中还夹杂着哲学理论和神秘的教义．1845年以后他又写了很多书和文章，将他的理论应用到物理及代数曲线和曲面上，但也没有获得人们的理解．于是他把《线性扩张论》修改加工，更名《扩张论》（Die Ausaenuang－slehre），于1862年在柏林出版．但此书还是没有用具体明确的例子说明他的新概念，仍然十分难懂，没有受到学术界重视．连续几次失败使他失望，53岁以后逐渐离开数学，专门研究梵文．
直到格拉斯曼晚年的时候，人们才注意到他的数学著作的价值．1871年，他被选为哥丁根科学院的通讯会员．这时他已年老体弱，但一直坚持工作．在他去世后，专家们努力把他的《扩张论》向数学界介绍，还有人为他写了传记，在他一百岁诞辰时出版了他的论著全集．
格拉斯曼在数学上的主要贡献表现在他对*空间的研究．*空间产生的原因之一，是在解决代数和分析的问题时试图利用几何方法．当时已有用几何方法解决纯代数问题的先例．但是如果未知数多于三个，三维空间就不够用了。为了保留有效的几何思想方法，就需要引入抽象的n维空间概念。这种空间的点由n个坐标决定，从而把在三个变数时起作用的几何方法应用到任意个变数的情形．
在解析几何与综合几何的基础上，G．W．莱布尼兹(Leibniz）曾设想过这种几何分析，但他没有深入阐述自己的观点．格拉斯曼首次提出了*欧几里得空间的系统理论．1844年他在《线性扩张论》中引入欧几里得n维空间概念，研究了点、直线、平面和两点间的距离，并推广到n维空间，研究了抽象几何空间中的n阶曲线，发展了莱布尼兹把代表几何实体的符号按一定规则来处理的代数思想．
《线性扩张论》所论述的几何分析，是一个介于解析几何与综合几何的边缘领域．几何分析的所有体系具有共同特点，它们的基本成分是有向线段的几何加法，并且借助于复数的平面几何描述．在《线性扩张论》中格拉斯曼融合坐标、向量及复数等概念于n维空间，大胆地开拓了数学的新领域．
“向量空间”概念在以前数学家的论著中是不够明确的，格拉斯曼第一个明白地解释了“n维向量空间”的概念，他把n维向量空间的向量和与积用纯几何方法来定义，发展了通用的向量演算法．
