四元数的运算
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发布时间：2022-06-02 18:34
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时间：2024-01-04 23:32
四元数运算在电动力学与广义相对论中有广泛的应用。四元数可以用来取代张量表示。有时候采用带有复数元素之四元数会比较容易，导得结果不为除法代数之形式。然而亦可结合共轭运算以达到相同的运算结果。
此处仅讨论具有实数元素之四元数，并将以两种形式来描述四元数。其中一种是向量与纯量的结合，另一形式两个创建量（constructor）与双向量（bivector；i、j与k）的结合。
定义两个四元数：
其中表示矢量；而表示矢量。 跟复数、向量和矩阵一样，两个四元数之和需要将不同的元素加起来。
加法遵循实数和复数的所有交换律和结合律。 两个四元数之间的非可换乘积通常被格拉斯曼（Hermann Grassmann）称为积，这个积上面已经简单介绍过，它的完整型态是︰
由于四元数乘法的非可换性，pq并不等于qp。格拉斯曼积常用在描述许多其他代数函数。qp乘积的向量部分是：
点积也叫做欧几里德内积，四元数的点积等同于一个四维向量的点积。点积的值是p中每个元素的数值与q中相应元素的数值的乘积的和。这是四元数之间的可换积，并返回一个标量。
点积可以用格拉斯曼积的形式表示：
这个积对于从四元数分离出一个元素有用。例如，i项可以从p中这样提出来：
欧几里德外积并不常用； 然而因为外积和内积的格拉斯曼积形式的相似性，它们总是一同被提及：
四元数偶积也不常用，但是它也会被提到，因为它和奇积的相似性。它是纯对称的积；因此，它是完全可交换的。
四元数叉积也称为奇积。它和向量叉积等价，并且只返回一个向量值：
四元数的转置通过被定义。它定义在上面的定义一节，位于属性之下（注意变量记法的差异）。其建构方式相同于复倒数（complex inverse）之构造：
一个四元数的自身点积是个纯量。四元数除以一个纯量等效于乘上此纯量的倒数，而使四元数的每个元素皆除以此一除数。 四元数的标量部分可以用前面所述的点积来分离出来：
四元数的向量部分可以用外积提取出来，就象用点积分离标量那样：
四元数的绝对值是四元数到原点的距离。
一复数之符号数乃得出单位圆上，一个方向与原复数相同之复数。四元数的符号数亦产生单位四元数：
幅角函数可找出一4-向量四元数偏离单位纯量（即：1）之角度。此函数输出一个纯量角度。
