当满足什么条件时,在椭圆上有一点P,焦点F1F2.满足PF1⊥PF2?

发布网友发布时间：2022-06-02 17:53

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热心网友时间：2023-11-26 14:15

在椭圆上，使PF1⊥PF2的点P可能没有，也可能有两个，还可能有四个，但不可能只有一个。

现证明如下：
不失一般性，设椭圆方程为x^2/a^2＋y^2/b^2＝1。
显然，有：｜F1F2｜＝2√（a^2－b^2）。以F1F2为直径作圆，则：
一、当√（a^2－b^2）＜b 时，容易得出：a＜√2b。此时椭圆包含圆，圆与椭圆没有交点。
　　∴此时椭圆上的任一点P，都无法使PF1⊥PF2。即满足椭圆上满足PF1⊥PF2的P不存在。

二、当√（a^2－b^2）＝b 时，容易得出：a＝√2b。此时椭圆与圆相切于短轴上的两个顶点。
　　显然椭圆短轴上的两个顶点就是点P，由直径所张的圆周角为直角，得知：PF1⊥PF。

三、当√（a^2－b^2）＞b 时，容易得出：a＞√2b。此时椭圆与圆有四个交点，显然这四个交点
　　就是点P的位置，由直径所张的圆周角为直角，得知：PF1⊥PF。

综上所述，在椭圆上，使PF1⊥PF2的点P可能没有，也可能有两个，还可能有四个，但不可能只有一个。