ijk向量叉乘计算公式怎么记
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发布时间：2022-04-22 06:19
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热心网友
时间：2022-06-18 19:57
叉乘，也叫向量的外积、向量积。顾名思义，求下来的结果是一个向量，记这个向量为c。
向量c的方向与a，b所在的平面垂直，且方向要用“右手法则”判断（用右手的四指先表示向量a的方向，然后手指朝着手心的方向摆动到向量b的方向，大拇指所指的方向就是向量c的方向）。
因此向量的外积不遵守乘法交换率，因为向量a×向量b=-向量b×向量a在物理学中，已知力与力臂求力矩，就是向量的外积，即叉乘。
一般我们在解决立体几何题目时会选择建立坐标系，因为这样做比较保险也有固定套路。很多时候这些题目要求你计算某一个面的法向量(normal vector)，这在高中阶段也是有固定方法的，我们这里想要介绍的是一种更高级也更迅速的方法，也就是引入向量叉乘(cross proct，“向量”同物理中的“矢量”概念，一直想不通为啥数学和物理用不一样的名字，英文都是vector)这一概念。
我们都学过向量的标量积，也就是所谓的点乘(dot proct)，两个向量做标量积后得到的是一个标量。我们这里定义一种新的向量运算，也就是向量积或者叫叉乘:
其运算结果仍是一个向量，我们记之为向量c，它的模定义为：
其中θ为向量a和向量b的夹角，如下图所示，c的模即以a和b为两条边的平行四边形的面积。
热心网友
时间：2022-06-18 19:58
而下面的文字，只是我的读书笔记，以加深自己的印象。
首先我们知道 ，对于向量u和v, u x v的结果，是得到一个既垂直于u又垂直于v的向量,假设记作n.
则有下面公式
n = u x v;
而n的方向，是由右手法则决定的。 即伸出右手，四个手指方向从u绕到v. 此时，大姆指的方向，就是n的方向。 我们通常叫做右向量。
引用一下维基百科的图来说明问题，有兴趣的兄弟可以照图比划一下。 （注：图中向量是用的a x b来表示）
有了上面的知识，我们继续向下看。
我们假设向量 u,v,n分别用三个标量来表示。即
u = (Xu,Yu,Zu)
v = (Xv,Yv,Zv)
n = (Xn,Yn,Zn)
则，它们的关系为
Xn = Yu*Zv – Zu*Yv;
Yn = Zu*Xv – Xu*Zv;
Zn = Xu*Yv – Yu*Xv;
即 n = (Yu*Zv – Zu*Yv,Zu*Xv – Xu*Zv,Xu*Yv – Yu*Xv);
而为了验证n与u和v的垂直性，可以使用点乘进行
点乘法则比这个简单多了， u*v = (Xu*Xv + Yu*Yv + Zu*Zv) = dotUV;
如果两个向量垂直，则dotUV = 0;
代入验证一把
u*n = (Xu*(Yu*Zv – Zu*Yv) + Yu*(Zu*Xv – Xu*Zv) + Zu*(Xu*Yv – Yu*Xv));
= Xu*Yu*Zv – Xu*Zu*Yv + Yu*Zu*Xv – Yu*Xu*Zv + Zu*Xu*Yv – Zu*Yu*Xv;
把正负号的因式仔细比对一下，发现刚好可以低消。 结果为0.
v*n 同理可证。
于是，也验证了n与u,v垂直的特性。
如果只是为了应用的话，走到这一步就可以停下了。后面的知识，只是为了满足一下好奇心。
那我们就来看看，这个结论是怎么来的呢？ 我们接着来推导。
为了更好地推导，我们需要加入三个轴对齐的单位向量。
i,j,k.
i,j,k满足以下特点
i = j x k; j = k x i; k = i x j;
k x j = –i; i x k = –j; j x i = –k;
i x i = j x j = k x k = 0; (0是指0向量）
由此可知，i,j,k是三个相互垂直的向量。它们刚好可以构成一个坐标系。
这三个向量的特例就是 i = (1,0,0) j = (0,1,0) k = (0,0,1)。
热心网友
时间：2022-06-18 19:58
