电磁场的定解问题——微分方程及边界条件
发布网友
发布时间：2022-04-22 06:22
共1个回答
热心网友
时间：2023-09-22 11:58
理论计算地电体的电磁响应需在规定边界条件下求解麦克斯韦方程组。由于麦克斯韦第一方程和第二方程同时含有E和H，为此，我们先要从麦克斯韦方程组导出E和H的微分方程。
4.1.2.1 时间域电磁场的微分方程
经适当的变换，可将时间域麦克斯韦方程中的五个变量消去三个，得
电法勘探
对式(4.1.23)的第一式两边取旋度，并考虑第二式，得
电法勘探
利用矢量恒等式▽×▽×H=▽▽·H-▽2H，并考虑▽·H=0，得
电法勘探
同理可得
电法勘探
式(4.1.24)和式(4.1.25)分别是H和E满足的时间域电磁场的微分方程——波动方程，它是一个齐次方程。在良导和低频介质情况下，式(4.1.24)和式(4.1.25)等号左端第三项可忽略，方程变为热传导性的(或扩散性的)。由此可见，在导电的强吸收介质中，观测不到辐射场(因为衰减太快)，电磁波扰动的传播是不按波动规律的，而是按扩散规律传播，类似于热传导过程。电磁法中的“电磁感应”就是指这种状态，此时
电法勘探
需要指出的是，扩散方程适用于实际的大地介质，正因为如此，电磁勘查方法的分辨能力不会太高。
若场的频率很高并对高阻介质而言，则式(4.1.24)和式(4.1.25)等号左端的第二项可忽略，这时方程变为纯波动性的，即
电法勘探
在这种状态下，电磁场按波动规律传播。根据波动方程，可知电磁波的传播速度
电法勘探
这样，我们只要测定电磁波的旅行时间，利用式(4.1.28)即可计算反射目标的距离，地质雷达就是根据这一原理工作的。因此，地质雷达技术属于电磁波法，而不是电磁感应法。电磁波在大地中衰减非常明显，且有频散，故解释时也不能完全套用地震学的分析方法。
由式(4.1.28)可知，真空中的电磁波的传播速度
电法勘探
这便是光速。由此可见，电磁波在真空中的传播速度与频率无关。而在地下介质中，由于一般情况下ε＞ε0，因此其传播速度变低，称为慢波。实际上，电磁波在地下介质传播时，速度还与频率和电阻率有关，将在后面作进一步介绍。
4.1.2.2 频率域电磁场的微分方程
对频率域麦克斯韦方程组式(4.1.15)中的第一式取旋度
▽×▽×H=(σ-iεω)▽×E (4.1.30)
利用矢量恒等式▽×▽×H=▽▽·H-▽2H，并考虑分区均匀介质中有▽·H=0，于是
▽2H=-(σ-iεω)▽×E (4.1.31)
将(4.1.15)第(2)式代入式(4.1.31)，经适当整理，可得
▽2H±k2H=0 (4.1.32)
同理，可得到
▽2E±k2E=0 (4.1.33)
式(4.1.32)和式(4.1.33)就是频率域的波动方程，亦称为H 和E 的赫姆霍兹方程，其中k称为波数(或传播系数)，其表达式为
k2=±(μεω2+iμσω) (4.1.34)
当频率小于105Hz时，对大地介质有μεω2≪μσω，即位移电流远小于传导电流，因此
电法勘探
需注意的是，不同的作者往往采用不同的时谐形式(如可取正谐H=H0eiωt、E=E0eiωt)和波数表达式，方程形式和方程的解型也不同。虽然它们在求解过程中所用的函数形式上有些差别，但最终都将导致同样的结果(朴化荣，1990)。本书中如不作特殊说明，一般取负谐，波数取k=
。
用赫姆霍兹方程求解介质中电磁场分布和一般求偏微分方程的定解问题一样，它必须满足给定的边界条件。两种介质分界面处的边界条件，可以利用麦克斯韦方程的积分形式导出
电法勘探
式中：下标t为平行于分界面的切向分量；n为垂直分界面的法向分量。
根据电荷守恒原理可以导出分界面两侧电流密度j的法向分量也是连续的，即j1n=j2n。此外，在电磁场求解中还常常利用的定解条件还有：①当频率趋于零时，电磁场趋于相应的稳定场；②当距离趋于无穷远时，所有电磁场分量均为零。
4.1.2.3 位函数及其微分方程
电磁法使用的场源一般分为两类，一类为磁性源，一类为电性源。当用载流线圈或回线发射电磁场时，一般将其视为磁性源。如果载流线圈的匝数为n，面积为S，电流强度为I，则其磁矩强度的振幅为Ms=nIS。当用鞭状天线或接地导线发射电磁场时，一般将其视为电性源。如果载流鞭状天线或接地导线长度为 dl，电流强度为 I，则其电极矩强度的振幅为PE=Idl。
麦克斯韦第一方程为齐次方程，适用于无源区域。若某一时刻只存在电性源，则麦克斯韦第一方程中的电流密度j应为
电法勘探
式中：
为源电流密度，
=μP′E。
于是麦克斯韦第一方程应写为
电法勘探
同样，麦克斯韦第二方程为齐次方程，适用于无源区域。若某一时刻只存在磁性源，则麦克斯韦第二方程变为
电法勘探
式中：
为源磁流密度，
=μM′s。
上述建立的场矢量方程中的源与场的方向不一定一致，若想将场矢量方程转为为标量方程以便求解的话，除特殊情况外，在数学上是很困难的。为了便于求解，必须引入满足下列条件的中间函数：
1)位函数的方向与源的方向易于建立联系或是标量；
2)能用波动方程联系位函数与源的关系；
3)能建立位函数与场的关系。
研究表明，能满足上述条件的中间函数既存在矢量函数，又存在标量函数，分别称为矢量位和标量位。借助位函数来表示E和H是求解麦克斯韦方程的一个有效途径，解位函数方程比解场强的方程容易。
在均匀各向同性介质中，若只存在电性源，此时引入磁矢量位A。它是这样引入的：从▽·H=0出发，利用恒等式▽·▽×A=0，可令
H=▽×A (4.1.40)
将它代入式(4.1.15)的第二式，得
▽×E=iωμ▽×A (4.1.41)
或
▽×(E-iωμA)=0 (4.1.42)
式(4.1.12)表明，括号中的矢量可以用任意标量的梯度来表示，取
E-iωμA=-▽U (4.1.43)
或
E=iωμA-▽U (4.1.44)
式中：U为标量电位。
在直流电法中因ω=0，故E=-▽U，这是我们熟知的。然而，在交变电磁场中，由于电场与磁场发生了直接的联系，因而在电场的表达式中一定含有磁矢量位A；同时，E不再是保守力场，电场和磁场是相互作用的整体，矢量磁位和标量电位共同来描述电磁场的物理量E。
将H=▽×A和E=iωμA-▽U代入式(4.1.38)，有
电法勘探
或
电法勘探
进一步写为
电法勘探
选择下列洛伦兹规范，即
▽·A+(σ-iωε)U=0 (4.1.48)
或
电法勘探
于是式(4.1.47)简化为
电法勘探
在无源区域
▽2A=k2A (4.1.51)
式(4.1.50)即为矢量位的微分方程。将式(4.1.49)代入式(4.1.44)可得
电法勘探
经适当变换可写成下列形式
电法勘探
将式(4.1.40)、式(4.1.50)和式(4.1.53)组成一个方程组，即
电法勘探
只存在磁性源(磁偶极子、不接地回线等)时，则在地中产生涡旋电流，其特点是▽×E=0。用同样的方法，从麦克斯韦方程组出发，引入电矢量位A*和磁标量位V，可导出电矢量位的微分方程以及电磁场与电矢量位的关系。
电法勘探
矢量位的边界条件可由电场和磁场的边界条件导出。
在很多电磁场理论问题中，常限定A和A*各自只含有一个分量，比如只含有z分量，那么
电法勘探
式中：ez为z方向的单位矢量；Az和
为x、y、z的标量函数。且源与矢量位之间易于建立联系，这就是位函数方程比关于场的方程易解的原因。
