证明在特征为P的有限域F中,映射φ:a|→a∧p,a∈F,是F的一个自同构
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发布时间：2022-05-30 22:41
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时间：2023-11-27 06:59
1) 对任意a, b ∈ F, 易得:
φ(ab) = (ab)^p = a^p·b^p = φ(a)φ(b),
即φ: F → F保持乘法.
2) 对任意a, b ∈ F, 可知:
φ(a+b) = (a+b)^p
= ∑{0 ≤ k ≤ p} C(p,k)·a^(p-k)·b^k (二项式定理, C(p,k)表示p中选k的组合数)
= a^p+b^p (由p是质数, 对0 < k < p, 有C(p,k) = p!/(k!(p-k)!)是p的倍数)
= φ(a)+φ(b),
即φ: F → F保持加法.
3) 由φ保持加法, 证明φ是单射只需验证ker(φ) = {0}.
若φ(a) = 0, 即a^p = 0, 由F中没有零因子, 易得a = 0, 即有ker(φ) = {0}.
故φ: F → F是单射.
4) 由φ是单射, 其像集im(φ)与F可建立一一对应, 又im(φ) ⊆ F, 且F是有限集, 只有im(φ) = F.
故φ: F → F是满射.
综上, φ: F → F是域的同构, 即为F的自同构.
