R上的开映射是不是连续映射？也就是说如果定义在R上的函数 f 把任意开集映为开集，那么f是否一定连续？
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发布时间：2022-05-30 07:44
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时间：2023-10-15 08:28
实数集R按照等价关系: x ~ y当且仅当x-y ∈ Q分成等价类.
由Q是可数集, 而R是不可数的, 等价类的基数也是不可数的.
实际上, 可以建立等价类与实数的一一对应.
定义函数f: R → R, 将每个等价类中的数映为与该等价类对应的实数.
于是对任意实数y, 集合{x | f(x) = y}在R中稠密.
可知f在任意非空开集上的值域都是R, f是开映射.
又f显然不连续, 即构成反例.
