特征向量α3算不出来……
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发布时间：2022-05-30 18:19
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热心网友
时间：2023-10-27 11:04
矩阵的特征向量是矩阵理论上的重要概念之一，它有着广泛的应用。数学上，线性变换的特征向量（本征向量）是一个非简并的向量，其方向在该变换下不变。该向量在此变换下缩放的比例称为其特征值（本征值）。
一个线性变换通常可以由其特征值和特征向量完全描述。特征空间是相同特征值的特征向量的集合。“特征”一词来自德语的eigen。1904年希尔伯特首先在这个意义下使用了这个词，更早亥尔姆霍尔兹也在相关意义下使用过该词。eigen一词可翻译为”自身的”、“特定于……的”、“有特征的”、或者“个体的”，这显示了特征值对于定义特定的线性变换的重要性。
线性变换的特征向量是指在变换下方向不变，或者简单地乘以一个缩放因子的非零向量。
特征向量对应的特征值是它所乘的那个缩放因子。
特征空间就是由所有有着相同特征值的特征向量组成的空间，还包括零向量，但要注意零向量本身不是特征向量[1] 。
线性变换的主特征向量是最大特征值对应的特征向量。
特征值的几何重次是相应特征空间的维数。
有限维向量空间上的一个线性变换的谱是其所有特征值的集合。
例如，三维空间中的旋转变换的特征向量是沿着旋转轴的一个向量，相应的特征值是1，相应的特征空间包含所有和该轴平行的向量。该特征空间是一个一维空间，因而特征值1的几何重次是1。特征值1是旋转变换的谱中唯一的实特征值。
随着地球的自转，除了在转轴上的两个箭头，每个从地心往外指的箭头都在旋转。
夏季最高、最低温度特征向量空间分布图
考虑地球在自转一小时后的变换：地心指向地理南极的箭头是这个变换的一个特征向量，但是从地心指向赤道上任何一点的箭头不会是一个特征向量。又因为指向极点的箭头没有被地球的自转拉伸，所以它的特征值是1。
另一个例子是，薄金属板关于一个固定点均匀伸展，使得板上每一个点到该固定点的距离翻倍。这个伸展是一个具有特征值2的变换。从该固定点到板上任何一点的向量都是一个特征向量，而相应的特征空间是所有这些向量的集合。
但是，三维几何空间不是唯一的向量空间。例如，考虑两端固定的拉紧的绳子，就像弦乐器的振动弦那样。振动弦的原子到它们在弦静止时所处的位置的带符号的那些距离视为一个空间中的一个向量的分量，那个空间的维数就是弦上原子的个数。
如果考虑绳子随着时间流逝发生的变换，它的特征向量，或者说特征函数（如果将绳子假设为一个连续媒介），就是它的驻波——即那些通过空气的传播让人们听到弓弦和吉他的拨动声的振动。驻波对应于弦的特定振动，它们使得弦的形状随着时间变化而伸缩一个因子（特征值）。和弦相关的该向量的每个分量乘上了一个依赖于时间的因子。驻波的振幅（特征值）在考虑到阻尼的情况下逐渐减小。因此可以将每个特征向量对应于一个寿命，并将特征向量的概念和共振的概念联系起来。
从数学上看，如果向量v与变换A满足Av=λv，则称向量v是变换A的一个特征向量，λ是相应的特征值。这一等式被称作“特征值方程”。
假设它是一个线性变换，那么v可以由其所在向量空间的一组基表示为：
其中vi是向量在基向量上的投影（即坐标），这里假设向量空间为n 维。由此，可以直接以坐标向量表示。利用基向量，线性变换也可以用一个简单的矩阵乘法表示。上述的特征值方程可以表示为：
但是，有时候用矩阵形式写下特征值方程是不自然甚或不可能的。例如在向量空间是无穷维的时候，上述的弦的情况就是一例。取决于变换和它所作用的空间的性质，有时将特征值方程表示为一组微分方程更好。若是一个微分算子，其特征向量通常称为该微分算子的特征函数。例如，微分本身是一个线性变换因为（若M和N是可微函数，而a和b是常数）
考虑对于时间t的微分。其特征函数满足如下特征值方程：
其中λ是该函数所对应的特征值。这样一个时间的函数，如果λ = 0，它就不变，如果λ为正，它就按比例增长，如果λ是负的，它就按比例衰减。例如，理想化的兔子的总数在兔子更多的地方繁殖更快，从而满足一个正λ的特征值方程。
该特征值方程的一个解是N = exp(λt)，也即指数函数；这样，该函数是微分算子d/dt的特征值为λ的特征函数。若λ是负数，我们称N的演变为指数衰减；若它是正数，则称指数增长。λ的值可以是一个任意复数。因此d/dt的谱是整个复平面。在这个例子中，算子d/dt作用的空间是单变量可微函数的空间。该空间有无穷维（因为不是每一个可微函数都可以用有限的基函数的线性组合来表达的）。但是，每个特征值λ所对应的特征空间是一维的。它就是所有形为N = N0exp(λt)的函数的集合。N0是任意常数，也就在t=0的初始数量。
希望我能帮助你解疑释惑。
热心网友
时间：2023-10-27 11:04
按你做的，再进行一边初等行变换，然后就可以得到特征向量了的。
