设A为m×n矩阵,齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是(?)

发布网友发布时间：2022-06-01 07:37

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热心网友时间：2024-07-19 15:39

设A为m×n矩阵，齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是A的列向量线性无关。

A为m×n矩阵，所以A有m行n列，且方程组有n个未知数。

Ax=0仅有零解⇔A的秩不小于方程组的未知数个数n。

因为R（A）=n⇔A的列秩=n⇔A的列向量线性无关。

矩阵A有n列，所以A的列向量组线性无关。

而A有m行，m可能小于n，此时行向量组线性无关，只能说R（A）=m，不能证明r（A）≥n

故其充分必要条件是A的列向量线性无关。

扩展资料：

几何向量的概念在线性代数中经由抽象化，得到更一般的向量概念。此处向量定义为向量空间的元素，要注意这些抽象意义上的向量不一定以数对表示，大小和方向的概念亦不一定适用。因此，平日阅读时需按照语境来区分文中所说的"向量"是哪一种概念。

不过，依然可以找出一个向量空间的基来设置坐标系，也可以透过选取恰当的定义，在向量空间上介定范数和内积，这允许我们把抽象意义上的向量类比为具体的几何向量。

热心网友时间：2024-07-19 15:43

齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件
就是|A|=0
也就是不是满秩
这里是A为m×n矩阵
就像求线性相关一样，把A的列向量看成是一些向量
x是要求的系数
因为不全为0，所以是线性相关

选A

热心网友时间：2024-07-19 15:46

当然是A的列向量线性无关这个选项，也就是A选项啦。
因为根据矩阵相乘的原则，AX的结果，就是A每一行的各个元素分别和X对应的每个元素相乘，然后相加。成为结果向量的对应元素。
所以A矩阵的列向量的每个元素都乘相同的x值（即A矩阵的每一列都是相同的未知数）
所以AX其实就是A的每个列向量分别乘以一个系数后，在相加。
现在AX=0只有0解，说明A的各个列向量各乘一个系数相加等于0向量，系数必须都是0，不存在系数不全为0的情况下，相加为0向量的情况。
这本身就是列向量线性无关的定义啊。
所以选A

热心网友时间：2024-07-19 15:43

妈呀，刚结束线代期末考，正好考到了这道题，，，应该是列向量线性相关，有非零解，则a的秩=行向量的秩=列向量的秩＜n，对于行向量由于不知道m与n的大小关系所以没法判断，列向量有n列，然而秩却＜n，所以线性相关

热心网友时间：2024-07-19 15:41

列向量线性相关！不是无关！